Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Limites de fonctionsTopics traitant de Limites de fonctions [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Fonction

Posté par
PetiteLumiere 14-09-15 à 10:45

Bien le bonjour à vous. Encire une fois, les fonctions et moi.. Ce n'est pas ça du tout.
Voici l'exercice:

1)
Pour chacune des fonctions suivantes, étudier le sens de variations sur l'ensemble I donné:

       f1 (X) = X3-3X2+4 sur l'intervalle I=[0;plus l'infini[
Voici se que j'obtient:

-Je dérive la fonction f est j'obtient 9X2-6X
-J'étudie le signe de f'(X):
Signe de aX2+bX+c (a différent de 0), on calcule le discriminant Delta=b2-4ac
Delta= -62-4*9*0 =36
Alors Delta>0

On calcule les deux racines: x1=(-(-6)-racine de 36)/2*9 = 0
et x2=(-(-6)+racine de 36)/2*9=2/3

Je trace ensuite le tableau de signe

Voilà, je ne suis pas sur de cela..

Sur la même consigne il me reste deux autre fonctions à traîter :

-f2(X)=(4X+1)/X-2 sur l'intervalle I=[0; plus l'infini[

-f3(X)=(X²-4X+3)/X+2 sur l'intervalle I=[-1;10[


2)
On considère la fonction f définie par: f2(X)=(X+1)/(X-1)

a) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.

J'ai trouvé ceci :
X-1 différent de 0 donc X Différent de 1
Donc Df2= ]moins l'infini;1[u]1;plus l'infini[

Et la suite, je bloque ..

b) Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est dérévable, puis calculer sa dérivée.

c)Déterminer les variations de la fonction f sur son ensemble de définition.

d) Déterminer les coordonnées des points d'intersection A et B de la courbe représentative Cf de la fonction f respectivement avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

E) déterminer l'équation réduite des tangentes Ta et Tb à la courbe représentative f aux points A et B .

f) Tracer dans un repère orthonormal Cf, Ta et Tb

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
kenavo27re : Fonction 14-09-15 à 10:55

bonjour,

Citation :
  f1 (X) = X3-3X2+4 sur l'intervalle I=[0;plus l'infini[
Voici se que j'obtient:

-Je dérive la fonction f est j'obtient 9X2-6X
-J'étudie le signe de f'(X):
Signe de aX2+bX+c (a différent de 0), on calcule le discriminant Delta=b2-4ac
Delta= -62-4*9*0 =36
Alors Delta>0

On calcule les deux racines: x1=(-(-6)-racine de 36)/2*9 = 0
et x2=(-(-6)+racine de 36)/2*9=2/3

Je trace ensuite le tableau de signe

Voilà, je ne suis pas sur de cela..


dérivée de X3-3X2+4 -> 3x²-6x

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 10:57

Bonjour

f(x)=x^3-3x^2+4 \qquad f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

revoir la dérivée de x\mapsto x^3

n'utilisez le discriminant que dans les cas graves

signe de la dérivée et sens de variation .Pour terminer on peut faire un tableau de variation

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 10:59

Bonjour kenavo27

bonne continuation je vous laisse répondre

Posté par
kenavo27re : Fonction 14-09-15 à 11:03

Citation :
2)
On considère la fonction f définie par: f2(X)=(X+1)/(X-1)

a) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.

J'ai trouvé ceci :
X-1 différent de 0 donc X Différent de 1
Donc Df2= ]moins l'infini;1[u]1;plus l'infini[

Et la suite, je bloque ..

b) Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est dérévable, puis calculer sa dérivée.


f2(X)=(X+1)/(X-1) -> cette fonction est de la forme U/V  donc f'(x)= (U'V-V'U)/V²

puis étude du signe de la dérivée sachant que le dénominateur est toujours positif (V²: positif)
puis tableau

Citation :
déterminer les coordonnées des points d'intersection A et B de la courbe représentative Cf de la fonction f respectivement avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

f2(X)=(X+1)/(X-1)
coordonnées du point d'intersection A (avec l'axe des abscisses).
Donc, résoudre
(X+1)/(X-1)=0

Quant au poinr B (l'axe des ordonnées.)

calcule f(O)






A toi

Posté par
kenavo27re : Fonction 14-09-15 à 11:04

bonjour hekla

Posté par
mdr_nonre : Fonction 14-09-15 à 11:20

bonjour : )

Citation :
-Je dérive la fonction f est j'obtient 9X2-6X

la dérivée est fausse, rappel : \boxed{(x^n)' = nx^{n-1}}

On souhaite étudier les variations de la fonction définie par f_1(x) = x^3-3x^2+4 sur I = [0 , +\infty[ .

Pour étudier les variations de f on étudie le signe de sa dérivée.

* f'(x) = 3x^2 - 6x

* Pour étudier le signe de f'(x), ici comme c'est un second degré
   1) Ou bien on se souvient des propriétés d'un second degré :
   Un second degré *ax² + bx + c* est du signe de 'a' à l'extérieur de ses racines et du signe de '-a' à l'intérieur de ses racines.
   Ici, f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2) les racines sont 0 et 2 ; et a = 3 est positif. Donc f'(x) est positif à l'extérieur de ses racines, c'est à dire sur ]-\infty , 0] \cup [2 , +\infty[ et négatif à l'intérieur de ses racines, c'est à dire sur [0 , 2].
   On déduit le tableau de variations suivant :
   \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & 0 && 2 && +\infty \\ \hline f'(x) & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) &\begin{matrix}4 \\ \\ \end{matrix}&\begin{matrix} \\ \searrow \\ \end{matrix} &\begin{matrix} \\ \\ 0\end{matrix}&\begin{matrix} \\ \nearrow \\ \end{matrix} &\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \hline \end{array}


   Remarque qu'on peut également passer par le discriminant pour la factorisation, Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4*3*0 = 36, les racines sont : (-b - √Δ)/(2a) = (6 - 6)/6 = 0 et (-b + √Δ)/(2a) = (6 + 6)/6 = 2. On retrouve les deux mêmes racines 0 et 2.) Donc f'(x) = 3x(x + 2).


   2) Si on ne souvient plus des propriétés sur le signe d'un second degré, on étudie le signe de chaque facteur.
   \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & 0 && 2 && +\infty \\ \hline x & 0 & + & | & + & \\ \hline x + 2 & | & - & 0 & + & \\ \hline f'(x) & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) &\begin{matrix}4 \\ \\ \end{matrix}&\begin{matrix} \\ \searrow \\ \end{matrix} &\begin{matrix} \\ \\ 0\end{matrix}&\begin{matrix} \\ \nearrow \\ \end{matrix} &\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \hline \end{array}


Si tu as compris, tu peux reproduire le raisonnement avec f2 et f3.

Posté par
mdr_nonre : Fonction 14-09-15 à 11:24

le retard, salut à tous : )

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 11:31

bonjour mdr_non

dans la partie 2 il faut lire (x-2) au lieu de x+2

Posté par
mdr_nonre : Fonction 14-09-15 à 11:39

oui exact merci : )

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 14-09-15 à 12:24

Tout d'abord, merci de votre aide.
Pour l'exercice 1:

Merci de m'avoir corrigé ma dérivée, mon problème venait bien de là je pense.

Citation :
n'utilisez le discriminant que dans les cas graves
Est-ce grave si j'utilise les discriminants? Car je me sent beaucoup plus à l'aise avec cette technique.

Citation :
Remarque qu'on peut également passer par le discriminant pour la factorisation, Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4*3*0 = 36, les racines sont : (-b - √Δ)/(2a) = (6 - 6)/6 = 0 et (-b + √Δ)/(2a) = (6 + 6)/6 = 2. On retrouve les deux mêmes racines 0 et 2.) Donc f'(x) = 3x(x + 2).

Merci de ton aide, j'ai bien refait le calcul et j'obtient le même résultat que toi.

Pour le tableau de variation , j'avais également trouvé le même, merci !

Tant que j'y suis, je me lance dans les deux autres fonctions :

f2=(4X+1)/(X-2) sur I=[0; plus l'infini[

Je cherche la dérivée :

Alors c'est une fonction homo-graphique donc pour se cas j'utilise (u'v-uv')/v²
Donc ici u=4X+1 u'=4 v=X-2 et v'=1
Donc (4(X-2))-((4X+1)*1)/(X-2)²
=7/(X-2)²

Du coup .. Heu bah là je bloque.. Ma dérivée serait-elle à nouveau fausse? :/


Pour l'exercice 2.
Merci Kenavo de tes indications.
Bon déjà l'intervalle est correct, c'est déjà ça.
Citation :
f2(X)=(X+1)/(X-1) -> cette fonction est de la forme U/V  donc f'(x)= (U'V-V'U)/V²


C'était "Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est dérivable" qui me bloque.

Donc je dérive la fonction :
f'=(1*(X-1))-(X+1(1))/(x-1)²
f'= (X-1)²
La dérivée est-elle juste ?

Donc comme le dénominateur d'un quotient doit toujours être positif, On a (X-1)²>0
Cette à dire : (X-1)²>0 -> Racine de (X-1)> racine de 0 -> X>1 ?

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 14-09-15 à 13:04

Citation :
f2(X)=(X+1)/(X-1)
coordonnées du point d'intersection A (avec l'axe des abscisses).
Donc, résoudre
(X+1)/(X-1)=0

Quant au poinr B (l'axe des ordonnées.)

calcule f(O)


(X+1)/(X-1)=0
X=-1

Donc les coordonnées du point d'intersection A avec l'axe des abscisses sont (0;-1)

f(0)= (0+1)/(0-1)=1

Donc les coordonnées du point d'intersection B avec l'axe des ordonnées sont (1;0)

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 13:51

non bien sûr mais il est plus simple lors de ax^2+bx de mettre x en facteur ou dans le cas

ax^2+c de reconnaître une somme ou une différence de 2 carrés


avant de regarder vos réponses on peut dire que les coordonnées de A etB sont fausses

intersection avec l'axe des abscisses y=0

intersection avec l'axe des ordonnées x=0

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 14-09-15 à 14:02

Personnellement j'ai toujours étudié avec l'axe des abscisses x=0 et l'axe des ordonnées y=0 Mais se ne sont que des dénommées je ne vois pas où est mon erreur, d'après moi mes coordonnées sont corrects, où est le problème?

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 14:03

la dérivée de x\mapsto \dfrac{4x+1}{x-2} est \dfrac{-9}{(x-2)^2}

d'une manière générale

\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}

une erreur dans le développement du numérateur

un quotient est dérivable sur les intervalles où il est défini



f'_2(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 14-09-15 à 14:23

Citation :
la dérivée de x\mapsto \dfrac{4x+1}{x-2} est \dfrac{-9}{(x-2)^2}


Ah oui exactement ! J'avais omit la propriété qui dit que lorsqu'il y a un "-" devant une parenthèse , les signes à l'intérieur de celle-ci s'inversent.

Hum, pour "f'2(X)=-1/(X-1)² , cela représente quoi?

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 14:36

dans l'exercice 2 vous avez f_2(x)=\dfrac{x+1}{x-1}

\dfrac{-2}{(x-1)^2} est la dérivée de f_2


tous les points situés sur l'axe des ordonnées ont une abscisse nulle

tous les points situés sur l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle

pour vous en convaincre on peut le démontrer

un vecteur directeur de l'axe des abscisses est le vecteur \vec{i}\quad (1,0)

M un point du plan(x,y) , l'axe des abscisses est l'ensemble des points M tels que \vec{OM} et

\vec{i} soient colinéaires x \times 0- y\times 1=0 équation de l'axe y=0

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 14-09-15 à 14:52

Oups, oui merci, vous avez raison ! Excusez-moi

Du coup :
(X+1)/(X-1)=0
X=-1

Donc les coordonnées du point d'intersection A avec l'axe des abscisses sont (-1;0)

f(0)= (0+1)/(0-1)=1

Donc les coordonnées du point d'intersection B avec l'axe des ordonnées sont (0;1)

Pour f2 (Car je cherche principalement à trouver mes erreurs pour ne pas les refaire)
Je ne comprends pas pourquoi je n'obtient jamais le même résultat que vous:

Je trouve: (Je pense que mon problème vient bien de là)
u=X+1
u'=2
v=X-1
v'=0

Avec la formule u'v-uv'/v²
On remplace par les valeurs : (2(X-1))-(X+1(0))/(X-1)²=(2X-2)/(X-1)²

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 15:00

f(0)=-1 oubli du signe - au dénominateur

u(x)=x+1\qquad u'(x)=1

v(x)=x-1\qquad v'(x)=1

f'_2 =\dfrac{u'v-v'u}{v^2}

f'_2(x)=\dfrac{1(x-1)-1(x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 15:03

j'aurais pu ajouter la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle et non elle-même comme il semble avoir été effectué dans votre dernier message

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 14-09-15 à 15:15

Ah oui, aussi, pfiou, pourquoi tant d'ambiguïté !

Bon alors votre formulation de la formule ( C'est pas français oui je sais) est beaucoup plus simple que la mienne puisque au début j'avais les bonnes informations et je m'étais emmêlée encore une fois avec des propriétés de priorités sur le négatif, bref , merci !

Donc ensuite j'étudie la dérivée sur l'intervalle ]moins l'infini;1[u]1;plus l'infini[ Car
(X-1)² doit être différent de 0 donc X est différent de 1.

Cela veut-il dire qu'il n'y a qu'une seule valeur pour laquelle la dérivée s'annule ? Ou il y a également 0 en complément de 1 ?

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 18:53

non la dérivée ne s'annule jamais

pour tout   x\in]-\infty~;~1[\cup]1~;~+\infty[ \quad f'(x)<0

la représentation graphique d'une fonction homographique est une hyperbole pensez à la fonction inverse

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 14-09-15 à 19:32

Hum donc on résous l'Inéquation -2/(X-1)²<0 ? Là je vois vraiment pas comment déterminer les variations de la fonction à partir de cette dérivée ..

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 14-09-15 à 20:08

f2(x)=(x+1)/(x-1) est une fonction hommographique de la forme f(x)= (ax+b)/(cx+d)
Avec c différent de 0 et a ,b et d réels
cx+d différent de 0

la fonction f2(x)=(x+1)/(x-1) est définie si x-1 différent de 0 soit c différent de 1
On en déduit Df= ]-l'infini;1[u]1; +l'infini[

Maintenant il faut que je trouve la fonction inverse apparemment

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 20:38

non j'ai parlé de la fonction inverse parce que je pense que c'est une fonction connue

la courbe de votre fonction a la même allure

x\not=1 et non c

D_f=]-\infty~;~1[\cup ]1~;~+\infty[

dérivée \dfrac{-2}{(x-1)^2}

toujours négative par conséquent la fonction est décroissante sur ]-\infty~;~1[ ou sur

]1~;~+\infty[

(remarque sur chaque intervalle jamais sur une réunion d'intervalles)

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 14-09-15 à 20:49

Hum d'accord, mais quand vous m'avez parlé de fonction inverse, j'ai pensé à tracer à l'aide de ma calculatrice le graph de la fonction et j'ai trouvé deux courbes symétriques inversés donc..

Posté par
heklare : Fonction 14-09-15 à 20:56

il n'y a qu'une courbe en deux parties

les droites en rouge sont les asymptotes et leur point d'intersection le centre de symétrie

Fonction

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 20-09-15 à 14:30

Bonjour ! Merci pour vos indications, j'ai finalement réussit l'exercice 2. Cependant j'ai trouvé des résultats pour l'exercice 1 et je ne suis aps sûr. Pourriez-vous m'indiquer si j'ai juste ?


Il faut que j'étudie les sens de variations sur l'ensemble donné:

f(x)=(4x+1)/(x-2) sur l'intervalle [0;+l'infini[

Je calcule la dérivée de f(x)

(4x(x-2))-(4x+1(1)/(x-2)²=(4x-8)-(4x+1)/(x-2)²=-9/(x-2)²

J'étudie le signe de f'(x).
Le dénominateur doit être différent de 0 donc :
x différent de 2

Les valeurs pour lesquelles f'(x) s'annulent sont donc 0 et 2 donc f'(x) est positif sur  ]-l'infini;0]u[2;+l'infini[ et négatif sur [0;2]

Tableau de variations :
Fonction





Etudier les sens de variation sur l'ensemble donné de la fonction f(x)=(x²-4x+3)/x+2 sur l'intervalle [-1;10[

Je calcule la dérivée :
f'(x)= ((2x-4)(x-1)-(x²-4x+3)(1))/(x-1)²=(2x²+x-4x+4-x²+4x-3)/(x-1)²=(x²+x+1)/(x-1)²

Je recherche le signe du trinôme ax²+bx+c

Delta = b²-4ac=1²-4*1*1=-3
Delata est négatif alros l'équation x²+x+1 n'admet aucune équation
Comme Delta est <0 alors (-Delta)/(4*a²) est positif
(-Delta)/(4*a²)= 0.75

Ce trinôme est donc le produit du réel a et d'un autre facteur qui est toujours positif.
Le signe de l'expression est donc le signe de a

f(x)=a[(x+(b)/(2a))²-(Delta)/(4*a²)] =a[(x+(b)/(2a))²+((-Delta)/(4a²))]=(x+0.5)²+0.75

Donc f'(x)= ((x+0.5)²+0.75)/(x-1)²

Tableau de variations :

[img3]

Fonction

Posté par
heklare : Fonction 20-09-15 à 14:55

f(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}\quad \mathcal{D}_f=[0~;~2[\cup]2~;~+\infty[

la fonction n'étant pas définie en 2 on doit donc trouver une double barre en 2

dérivée d'accord \dfrac{-9}{(x-2)^2}

pour tout x le numérateur est négatif et le dénominateur positif par conséquent le quotient est négatif

la fonction est strictement décroissante sur chacun des intervalles

Fonction

quelle est la définition de la dernière fonction ? le dénominateur variant deux fois x+2 une fois x-1

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 20-09-15 à 15:21

x+2 différent de 0 donc x différent de -2
x-1 différent de 0 donc x différent de 1 aussi?

Donc faut que je rajoute cette valeur interdite dans le tableau ?

Posté par
heklare : Fonction 20-09-15 à 15:26

je vous demandais le texte exact de la fonction

puisque ce n'était pas partout le même

donc pour l'instant je ne sais quelle est la valeur interdite (il n'y en a qu'une dénominateur du premier degré)

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 20-09-15 à 15:26

[-1;1[u]1;10[

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 20-09-15 à 15:27

Ah, c'est f(x) (x²-4x+3)/(x+2) sur [-1;10[

Posté par
heklare : Fonction 20-09-15 à 15:42

bien on va donc prendre ce texte

le dénominateur s'annule pour -2 or -2\not \in[-1~;~10[ il n'y a pas de valeur interdite

f'(x)=\dfrac{x^2+4x-11}{(x+2)^2}

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 20-09-15 à 16:07

Ah d'accord

Pour la dérivée, j'avais trouvé (x²+x+1)/(x+2)²
Et je retrouve toujours la même dérivée ..

Je détailel mon calcul : ((2x-4)(x-1)-(1)(x²-4x+3))/(x+2)²=(2x²+x-4x+4-x²+4x-3)/(x+2)²=(x²+x+1)/(x+2)²

Posté par
heklare : Fonction 20-09-15 à 16:22

vous avez mélangé deux textes

f'(x)=\dfrac{(2x-4){\textcolor{red}{(x+2)}}-(x^2-4x+3)}{(x+2)^2}=\dfrac{2x^2-8-x^2+4x-3}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x-11}{(x+2)^2}

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 20-09-15 à 17:40

Ah mais oui merci ! Désolée , c'est parce que je m'étais appuyée désespérément sur un exemple de mon manuel, et j'ai du m'emmêlée !
Donc du coup pour rechercher les sens de variation de la fonction:
Je cherche le signe du trinôme ax²+bx+c avec a=1 b=4 et c=-11

Delta=b²-4ac = 4²-4*1*(-11)=60
Donc Delta est positif donc  le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de −a à l'intérieur des racines.
ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=(x-1.8729)(x-(-5.872))
Donc f'(x)= (x-1.8729)(x-(5.872))/(x+2)²

Posté par
heklare : Fonction 20-09-15 à 17:58

les racines de x^2+4x-11 sont -2-\sqrt{15} et -2+\sqrt{15}

toujours travailler avec les valeurs exactes!

f'(x)=\dfrac{\left(x-(-2-\sqrt{15})\right)\left(x-(-2+\sqrt{15})\right)}{(x+2)^2}

par conséquent f'(x)<0 pour x\in [-1~;~2+\sqrt{15}[ et

f'(x)>0 pour x\in]2+\sqrt{15}~;~10]

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 20-09-15 à 18:45

D'accord, donc on fait le tableau de variations : https://www.ilemaths.net/img/forum_img/forum_temp_8355a2b90aa739bb3e1b24fbe417f6b1_647585_1.png?rand=531

Posté par
heklare : Fonction 20-09-15 à 19:04

je ne peux voir le tableau

f strictement décroissante sur [-1~;~2+\sqrt{15}[

strictement croissante sur ]2+\sqrt{15}~;~10]

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 20-09-15 à 19:18

Mon tableau traduit cela oui

Bon, mon devoir arrive enfin à son terme ! Merci beaucoup beaucoup de votre aide !

Posté par
heklare : Fonction 20-09-15 à 19:21

pour illustrer la courbe

Fonction

Posté par
PetiteLumierere : Fonction 20-09-15 à 19:25

Merci bien de t'être attardé sur mon devoir !

Posté par
heklare : Fonction 20-09-15 à 19:26

de rien


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !