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Fonction

Posté par
matheux14 14-01-21 à 20:52

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Partie A

Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=x^{3}+2x-2.

1-a) Calculer les limites de g en -∞ et en +∞.


1-b) Étudier les variations de g et dresser son tableau de variation.

1-c) Démontrer que l'équation : x\in \R , g(x)=0 admet une solution unique \alpha.

1-d) Démontrer que : 0,77 < \alpha < 0,78.

2) Démontrer que :

\forall x \in ]-∞ ; α[ , g(x) < 0

\forall x \in ]α ;+∞[ , g(x) > 0.

Partie B.

Soit f la fonction définie sur ]-∞ ; 0 [ U ]0 ; +∞[ par : f(x)=x-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x²}.

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; I ; J). Unité 2cm.

1) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2-a) Démontrer que la droite (D) d'équation y=x est asymptote à (C).

b) Étudier la position de (C) par rapport à (D).

3-a) Démontrer que :

\forall x \in \R* , f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{3}}

b) Dresser son tableau de variation.

c) Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1.

4) Tracer (T) , (D) et (C).

Réponses

Partie A

1-a) *\lim_{x\to -\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}x^{3}=-\infty

* \lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}x^{3}=+\infty

1-b) \forall x \in \R , g'(x)=3x²+2

Donc \forall x\in \R , g'(x) > 0

g est donc strictement croissante sur \R.

[img1].

1-c) On a g continue et strictement croissante sur \R.

Donc g est une bijection de \R sur \R.

==> g(x)=0 admet une unique solution \alpha dans \R.

d) g(0,77) = -3,467.10^(-3) et g(0,78)= 3,4552.10^(-2).

Càd g(0,77) ×g(0,78) < 0

==> g(0,77) < g(α) < g(0,78)

==> 0,77 < α < 0,78.

2) On a : g(]-∞ ;  α [) = ]-∞ ; g( α )[=]-∞ ;0[ et g(] α ;+∞[)=]0 ; +∞[

Donc \forall x \in ]-∞ ; α [ , g(x) < 0 et \forall x\in ] α  ;+∞[ , g(x)>0.

Partie B

\forall x \in ]-∞ ;0 [ U ]0 ;+∞[ ,

f(x)=x-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x²}

1) \forall x \in ]-∞ ;0 [ U ] 0 ;+∞[

f(x)=\dfrac{x^{3}-2x+1}{x²}

* \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^{3}}{x²}=\lim_{x\to-\infty}x=-\infty

*\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

* \lim_{x\to0}(x^{3}-2x+1)=1

. \forall x \in ]-\infty ;0[ , x² > 0

donc \lim_{x\to0}f(x)=+\infty ( à gauche).

. \forall x \in ]0;+\infty[ , x² > 0

donc \lim_{x\to0}f(x)=+\infty ( à droite).

2-a) \forall x \in ]-∞ ; 0[ U ]0 ;+∞[ ;

f(x)-x=\dfrac{-2x+1}{x²}

* \lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2}{x}= 0

\lim_{x\to-\infty}(f(x)-x))=0

==> (D) : y= x est asymptote à (C).

2-b) pour x de ]-∞ ;0 [ U ] 0;+∞[ ,  f(x)-x=\dfrac{-2x+1}{x²}

\forall x \in ]-∞ ;0] U [0 ;1/2] , f(x)-x ≥ 0.

Donc (C) est au dessus de (D) sur ]-∞ ;0[ et sur ]0 ;1/2[.

\forall x \in ]1/2 ;+∞[ , f(x)-x ≤ 0

Donc (C) est au dessous de (D) sur ]1/2 ;+∞[.

Le point d'abscisse 1/2 est le point d'intersection de (C) avec (D) et le point d'abscisse 0 est le point de contact de (C) et (D).

3-a) \forall x \in \R* ;


f'(x)=\dfrac{(x^{3}-2x+1)'(x²)-(x²)'(x^{3}-2x+1)}{(x²)²}

f'(x)=\dfrac{(3x²-2)x²-2x(x^{3}-2x+1)}{x^{4}}

f'(x)=\dfrac{3x^{4}-2x²-2x^{4}+4x²-2x}{x^{4}}

f'(x)=\dfrac{x^{4}+2x²-2x}{x^{4}}

f'(x)=\dfrac{x(x^{3}+2x-2)}{x^{4}}

f'(x)=\dfrac{x^{3}+2x-2}{x^{3}}

f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{3}}

3-b) Là j'ai un petit souci .. masi j'aimerais bien que vous vérifiez ce que j'ai fait avec la rédaction aussi.

Posté par
malou Webmasterre : Fonction 14-01-21 à 20:57

Bonjour
je viens de lire en diagonale
c'est pas mal
mais dans la 2e partie, moi je ne réduis pas au même dénominateur pour chercher les limites en + ou - l'infini
non plus pour calculer g(x)-x, il vaut mieux garder la forme de départ
pour dériver également
sinon, je crois que ça tourne

Posté par
matheux14re : Fonction 14-01-21 à 21:15

3-b) \forall x < 0 , x³ < 0 et \forall x > 0 , x³>0.

Or \forall x \in ]-\infty ;\alpha[ , g(x) < 0 et \forall x \in ]\alpha ;+\infty[ , g(x) > 0.

Donc \forall x \in ]-\infty ;\alpha[ \setminus \{0\} , f'(x) > 0 et \forall x \in ]\alpha ;+\infty[ , f'(x)< 0

Arrivé là , j'ai l'impression qu'il y a quelque chose qui m'échappe.. je pense au niveau de l'intervalle [0 ;α]

Posté par
phyelec78re : Fonction 14-01-21 à 21:17

Bonjour,

sauf erreur de ma part :

1) PARTIE A : c'est OK, je n'ai pas vu d'erreur.
2) PARTIE B : c'est OK, je n'ai pas vu d'erreur. En ce qui concerne le 3-b)"Dresser son tableau de variation" , vous avez un quotient : -/- est positif, +/+ est positif, +/- est négatif, et -/+ est négatif. Etudier le signe de g(x) et x^3 sur R* et fait u tableau :
________________________________________________________________________________
signe | -inf                                                    0(double barre)                                       +inf
________________________________________________________________________________
g(x)    |
______________________________________________________________________________
x^3   |
______________________________________________________________________________
f(x)    |
_______________________________________________________________________________


je ne sais faire les tableau en latex donc j'espère que mon "tableau" sera parlant.

Posté par
matheux14re : Fonction 14-01-21 à 21:44

Auriez vous oublié \alpha ?

Posté par
phyelec78re : Fonction 14-01-21 à 21:46

oui,j'ai oubliéoublié \alpha

Posté par
matheux14re : Fonction 14-01-21 à 21:49

Mon problème se situe dans l'intervalle [0 ; α] ..

Posté par
matheux14re : Fonction 14-01-21 à 21:50

Je ne vois pas vraiment comment le gérer.

Posté par
phyelec78re : Fonction 14-01-21 à 21:56

Dans le tableau placé 0,77   puis  \alpha  puis 0,78. et donnez le signe de g(x) et x^3 avant  0,77  , entre  0,77   et \alpha, entre \alpha  et 0,78 et après 0,78

Posté par
phyelec78re : Fonction 14-01-21 à 22:00

en plus vous savez que (je vous site) : \forall x \in ]-∞ ; α [ , g(x) < 0 et \forall x\in ] α  ;+∞[ , g(x)>0. , et  x ^3 < 0 si x <0 et x ^3 > 0 si x >0

Posté par
phyelec78re : Fonction 14-01-21 à 22:05

n plus vous savez que (je vous site) :
\forall x \in ]-\infty ; \alpha [ , g(x) < 0 et   \forall x\in  ] \alpha  ;+\infty[   , g(x)>0. , et  x ^3 < 0 si x <0 et x ^3 > 0 si x >0

Posté par
matheux14re : Fonction 14-01-21 à 22:23

Ok ,  j'utilise des valeurs assez approchées de 0,77 (à gauche : 0,76) et 0,78 (à droite : 0,79).

f'(0,79)≈ 0,15 > 0 et f'(0,76)≈ - 0,09

Et ça me donne ceci :


Fonction

Posté par
phyelec78re : Fonction 14-01-21 à 22:33

Oui, c'est cela. Mais je pense que vous devez expliquez comment vous trouvez le signe de f'(x), soit par  mon tableau, soit par des phrases.
signe | -inf                    0(double barre)     0.77  alpha  0,78                            +inf
________________________________________________________________________________
g(x)    |
______________________________________________________________________________
x^3   |
______________________________________________________________________________
f'(x)    |
_______________________________________________________________________________

Posté par
matheux14re : Fonction 14-01-21 à 22:45

Je crois que je l'ai fait à 22h : 23 non ?

Posté par
phyelec78re : Fonction 14-01-21 à 23:09

Sur ton poste de 22h : 23 je ne vois pas g(x) et x^3, à mon avis tu n'a pas besoin de calculer
f'(0,79)≈ 0,15 > 0 et f'(0,76)≈ - 0,09 , tu connais le signe de g(x) et x^3 sur les intervalles concernés et donc le signe de f'(x)=g(x)/x^3

Posté par
matheux14re : Fonction 14-01-21 à 23:31

Oui ,

phyelec78 @ 14-01-2021 à 22:05

n plus vous savez que (je vous site) :
\forall x \in ]-\infty ; \alpha [ , g(x) < 0 et   \forall x\in  ] \alpha  ;+\infty[   , g(x)>0. , et  x ^3 < 0 si x <0 et x ^3 > 0 si x >0
c'est ce que j'avais fait au fait n'est ce pas .. Ce n'était pas suffisant ?

Posté par
phyelec78re : Fonction 14-01-21 à 23:35

dans votre poste de 22h:23 vous dites " j'utilise des valeurs assez approchées de 0,77 (à gauche : 0,76) et 0,78 (à droite : 0,79)." et g(x) et x^3  ne sont pas dans tableau de variation ( au dessus de f'(x)).
Ou alors vous ne l'avez pas dis dans votre poste

Posté par
phyelec78re : Fonction 14-01-21 à 23:42



signe | -inf                    0(double barre)     0.77    alpha   0,78                            +inf
__________________________________________________________________________________________
g(x)    |               -             ||                 -                      |   -         |         +       |        +
__________________________________________________________________________________________
x^3   |             -                 ||            +                       |      +       |           +        |      +
_______________________________________________________________________________________________
f'(x)    |                 +            ||           -                    |        -        0        +        |   +
______________________________________________________________________________________________
f(x)    |                              ||
_____________________________________________________________________________________________

Posté par
matheux14re : Fonction 14-01-21 à 23:46

Ah ok , je vois maintenant ..

Merci


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