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fonction avec logarithme et exponentielle

Posté par
Nonorigolo
19-03-22 à 15:48

Bonjour, je suis bloqué à l'étude du signe du 2a) voici le sujet
Soient f et g les fonctions définies sur l'intervalle ]0; +∞[ par f(x) = Inx et g(x) = (Inx)^2.
On note Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal. Les courbes ont été tracées à l'aide d'une calculatrice.
1. a) Etudier le signe de (In x)(1-In x) sur ]0 ; + ∞ [.
b) En déduire la position relative des deux courbes Cf et Cg sur ]0;+ infini [.
2. Pour x appartenant à ]0; +∞ [
, M est le point de Cf d'abscisse x et N est le point de Cg de même abscisse.
a) Soit h la fonction définie sur ]0; +∞ [ par h(x) = f (x) - g (x).
Etudier les variations de h sur ]0; + ∞ [.
b) En déduire que sur l'intervalle [1 ; e], la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x=racine de e
Quelle est la valeur de cette distance maximale ?


j'ai donc dérivé h qui était de (1-lnx)lnx donc la dérivée est
(1-2lnx)/x
Sachant que x>0 le signe est celui de 1-2lnx
donc 1-2lnx=0 pour x=...
et pareille pour le reste je suis toujours bloque
j'ai fais donc 1-2lnx=0
ln(x)=1/2
sauf que e^1/2 n'est pas égal à environ 3,16 comme je le vois graphiquement je ne sais donc pas comment faire
et de même pour le b) où je ne vois pas du tout comment faire
merci d'avance pour votre aide

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 15:55

Bonjour

on a bien h'(x)= \dfrac{1-2\ln (x)}{x}

h'(x)=0 \iff  \ln x=\dfrac{1}{2} $ soit   $ x=\text{e}^{1/2}

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 16:05

C'est pourtant bien ce que l'on vous dit :

Citation :
la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x=racine de e


écrit autrement \text{e}^{1/2} =\sqrt{\text{e}

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 16:21

hekla @ 19-03-2022 à 15:55

Bonjour

on a bien h'(x)= \dfrac{1-2\ln (x)}{x}

h'(x)=0 \iff  \ln x=\dfrac{1}{2} $ soit   $ x=\text{e}^{1/2}

pourtant graphiquement je vois que 1-2lnx=0 lorsque x environ= à 3,16
or e^1/2 environ = à 1,64

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 16:23

hekla @ 19-03-2022 à 16:05

C'est pourtant bien ce que l'on vous dit :
Citation :
la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x=racine de e


écrit autrement \text{e}^{1/2} =\sqrt{\text{e}

c'est à dire ?

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 16:31

Graphiquement on ne peut rien dire, vous ne les avez pas mis.

Dans le texte, on vous demande bien de montrer que le maximum de h est obtenu pour \text{e}^{1/2}.

On peut indifféremment écrire \text{e}^{1/2} ou \sqrt{\text{e}

si on élève au carré, on obtient bien \text{e}

c'est bien une définition de la racine carrée

La racine carrée de a est le nombre qui, élevé au carré, donne a

Posté par
malou Webmaster
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 16:35

Bonjour
La racine carrée de a est le nombre positif qui, élevé au carré, donne a

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 16:59

je crois que pour la b) j'ai pas compris ce que l'on cherche

Posté par
malou Webmaster
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:11

regarde cette fiche sur les positions relatives de deux courbes, ça va t'aider à comprendre ce qu'on veut te faire dire en b)
Etude de la position relative de deux courbes

edit > je vois qu'hekla est revenu, je quitte

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:27

On vous a donné deux courbes et on veut savoir pour quelle valeur l'écart est le plus grand.

Pour ce faire, on considère un point M de C_f et un point N de C_g  de même abscisse.
On va donc comparer les ordonnées. Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de la différence

Dire que a est plus petit que b, c'est dire que le réel  b-a est un réel positif.

On va étudier la fonction  h définie par f-g et on va chercher pour quelle valeur a-t-on un maximum, s'il existe.

Comme d'habitude, les extrema sont à rechercher parmi les valeurs où la dérivée s'annule.

C'est bien ce que vous avez fait. Vous avez montré qu'elle s'annulait pour \text{e}^{1/2}.

Comme on a + 0 - on a donc bien un maximum. Si vous placez un décimètre à l'abscisse  \text{e}^{1/2} soit environ 1,65 vous pourrez vérifier que la distance entre les deux courbes est la plus grande.
fonction avec logarithme et exponentielle

Pour cette valeur, la distance MN est la plus grande.

En rouge la courbe de h

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:35

donc la réponse à la b) c'est concrètement e^1/2 ?

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:48

mais donc pour le signe de h'
h' est positif sur ]-;e^1/2[ et négatif sur ]é^1/2: +[ ?

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:48

Oui, c'est bien ce que l'on vous demandait de montrer.
Maintenant, il vous reste à calculer h\left(\text{e}^{1/2}\right), pour répondre à la dernière question la valeur de ce maximum.

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:49

ce qui me bloque c'est que h' est censé s'annuler en x=3,16 environ
et la e^1/2 ce n'est pas du tout égal à 3,16 donc meme pour les variations je n'aurais pas les chiffres à mettre après les fleches

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:50

17 :48 oui

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:51

hekla @ 19-03-2022 à 17:48

Oui, c'est bien ce que l'on vous demandait de montrer.
Maintenant, il vous reste à calculer h\left(\text{e}^{1/2}\right), pour répondre à la dernière question la valeur de ce maximum.
c'est environ 0,17?

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:51

Vous donnez toujours cette valeur 3,16.  D'où vient-elle ?

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:53

hekla @ 19-03-2022 à 17:51

Vous donnez toujours cette valeur 3,16.  D'où vient-elle ?

(1-2lnx)/x graphiquement pour h'(x)=0
x=3,16

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:54

et de même pour 1-2lnx c'est aussi pour x=3,16

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 17:58

Comment trouvez-vous cette valeur ?

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:00

sur la numworks, en chercher la racine je trouve donc environ 3,16 pour h'(x)=0

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:03

Vous pouvez joindre l'image de la courbe

 h'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x}

une fraction est nulle si le numérateur est nul et le dénominateur non nul

 h'(x)=0 \iff 1-2\ln x =0 $ et $ x\not=0

1-2\ln x=0 \iff x=\text{e}^{1/2}

aucun 3, 16 là-dedans

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:04

surtout que e^1/2 =racine de e
donc c'est juste
et la fonction dérivé l'est aussi puisque avec 1-2lnx=0 x=e^1/2
je ne comprend donc pas pourquoi elle s'annule en 3,16

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:06

voilà

fonction avec logarithme et exponentielle

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:09

sur Numworks

fonction avec logarithme et exponentielle
Qu'avez-vous tapé ?

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:10

je pense que j'ai du me tromper quand j'ai tapé la fonction

fonction avec logarithme et exponentielle

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:21

Avec la fonction indiquée j'obtiens  

fonction avec logarithme et exponentielle

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:23

et pour h'(x)=0 vous trouvez e^1/2 ?

Posté par
malou Webmaster
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:26

je vois que Nonorigolo a tapé un log et non un ln

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:27

Oui,  c'est la réponse 18 09

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:33

ah effectivement ! mais même avec ln, je trouve 2,78

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:35

je pense que ma calculatrice a un probleme, via le simulateur en ligne je trouve bien 1,64 mais pas avec ma calculatrice

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:36

tout ce temps pour une faute de frappe désole de vous avoir fait perdre votre temps !

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:37

donc 1-2lnx=0 x=e^1/2
1-2lnx<0 x>e^1/2
1-2lnx>0 x<e^1/2
il me reste a calculer les limites de h pour le tableau
et donc de rediger la b)

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:37

Vous avez fait la démonstration que

h'(x)=0 \iff x=\text{e}^{1/2}

Donc vous avez fait certainement une erreur en tapant sur la calculatrice.

Le raisonnement est plus fiable.

2,78 est une valeur approchée de \text{e}

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:46

Pour le signe
j'écrirais
1-2\ln x >0 \iff  \ln x<1/2   et comme la fonction \exp est strictement croissante x<\text{e}^{1/2}

Pas de problème pour les limites

pas de problème pour le temps

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:50

je viens de voir que j'ai utilisé log pour la premiere partie de mon exo donc je dois recommencer
mais à partir de la 2. c'est bon
merci beaucoup à vous pour votre aide

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 18:59

Fondamentalement cela ne change pas beaucoup, c'est juste un coefficient
On ne peut pas dire qu'ici vous avez eu besoin d'aide
De rien

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 19:01

oui j'ai juste du changer la valeur de x pour laquelle h(x) est positive,...
est-ce que les variations et le signe suffit pour prouver que h(x) s'annule en e^1/2 ?

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 19:06

Ce n'est pas h mais h' qui s'annule pour \text{e}^{1/2}

La résolution d'inéquations est aussi simple.

Posté par
Nonorigolo
re : fonction avec logarithme et exponentielle 19-03-22 à 19:08

Ah oui je vois, merci encore pour votre aide !



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