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fonction avec logarithme et exponentielle
Bonjour, je suis bloqué à l'étude du signe du 2a) voici le sujet
Soient f et g les fonctions définies sur l'intervalle ]0; +∞[ par f(x) = Inx et g(x) = (Inx)^2.
On note Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal. Les courbes ont été tracées à l'aide d'une calculatrice.
1. a) Etudier le signe de (In x)(1-In x) sur ]0 ; + ∞ [.
b) En déduire la position relative des deux courbes Cf et Cg sur ]0;+ infini [.
2. Pour x appartenant à ]0; +∞ [
, M est le point de Cf d'abscisse x et N est le point de Cg de même abscisse.
a) Soit h la fonction définie sur ]0; +∞ [ par h(x) = f (x) - g (x).
Etudier les variations de h sur ]0; + ∞ [.
b) En déduire que sur l'intervalle [1 ; e], la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x=racine de e
Quelle est la valeur de cette distance maximale ?
j'ai donc dérivé h qui était de (1-lnx)lnx donc la dérivée est
(1-2lnx)/x
Sachant que x>0 le signe est celui de 1-2lnx
donc 1-2lnx=0 pour x=...
et pareille pour le reste je suis toujours bloque
j'ai fais donc 1-2lnx=0
ln(x)=1/2
sauf que e^1/2 n'est pas égal à environ 3,16 comme je le vois graphiquement je ne sais donc pas comment faire
et de même pour le b) où je ne vois pas du tout comment faire
merci d'avance pour votre aide
C'est pourtant bien ce que l'on vous dit :
la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x=racine de e
écrit autrement
Bonjour
on a bien
pourtant graphiquement je vois que 1-2lnx=0 lorsque x environ= à 3,16
or e^1/2 environ = à 1,64
C'est pourtant bien ce que l'on vous dit :
la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour x=racine de e
écrit autrement
c'est à dire ?
Graphiquement on ne peut rien dire, vous ne les avez pas mis.
Dans le texte, on vous demande bien de montrer que le maximum de est obtenu pour
.
On peut indifféremment écrire ou
si on élève au carré, on obtient bien
c'est bien une définition de la racine carrée
La racine carrée de est le nombre qui, élevé au carré, donne
regarde cette fiche sur les positions relatives de deux courbes, ça va t'aider à comprendre ce qu'on veut te faire dire en b)
Etude de la position relative de deux courbes
edit > je vois qu'hekla est revenu, je quitte
On vous a donné deux courbes et on veut savoir pour quelle valeur l'écart est le plus grand.
Pour ce faire, on considère un point M de et un point N de
de même abscisse.
On va donc comparer les ordonnées. Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de la différence
Dire que est plus petit que
, c'est dire que le réel
est un réel positif.
On va étudier la fonction définie par
et on va chercher pour quelle valeur a-t-on un maximum, s'il existe.
Comme d'habitude, les extrema sont à rechercher parmi les valeurs où la dérivée s'annule.
C'est bien ce que vous avez fait. Vous avez montré qu'elle s'annulait pour .
Comme on a + 0 - on a donc bien un maximum. Si vous placez un décimètre à l'abscisse soit environ 1,65 vous pourrez vérifier que la distance entre les deux courbes est la plus grande.
Pour cette valeur, la distance MN est la plus grande.
En rouge la courbe de
;e^1/2[ et négatif sur ]é^1/2: +Oui, c'est bien ce que l'on vous demandait de montrer.
Maintenant, il vous reste à calculer , pour répondre à la dernière question la valeur de ce maximum.
ce qui me bloque c'est que h' est censé s'annuler en x=3,16 environ
et la e^1/2 ce n'est pas du tout égal à 3,16 donc meme pour les variations je n'aurais pas les chiffres à mettre après les fleches
Oui, c'est bien ce que l'on vous demandait de montrer.
Maintenant, il vous reste à calculer
Vous donnez toujours cette valeur 3,16. D'où vient-elle ?
(1-2lnx)/x graphiquement pour h'(x)=0
x=3,16
Vous pouvez joindre l'image de la courbe
une fraction est nulle si le numérateur est nul et le dénominateur non nul
aucun 3, 16 là-dedans
surtout que e^1/2 =racine de e
donc c'est juste
et la fonction dérivé l'est aussi puisque avec 1-2lnx=0 x=e^1/2
je ne comprend donc pas pourquoi elle s'annule en 3,16
je pense que ma calculatrice a un probleme, via le simulateur en ligne je trouve bien 1,64 mais pas avec ma calculatrice
donc 1-2lnx=0 
x=e^1/2
1-2lnx<0 x>e^1/2
1-2lnx>0 x<e^1/2
il me reste a calculer les limites de h pour le tableau
et donc de rediger la b)
Vous avez fait la démonstration que
Donc vous avez fait certainement une erreur en tapant sur la calculatrice.
Le raisonnement est plus fiable.
2,78 est une valeur approchée de
Pour le signe
j'écrirais
et comme la fonction
est strictement croissante
Pas de problème pour les limites
pas de problème pour le temps
je viens de voir que j'ai utilisé log pour la premiere partie de mon exo donc je dois recommencer
mais à partir de la 2. c'est bon
merci beaucoup à vous pour votre aide
Fondamentalement cela ne change pas beaucoup, c'est juste un coefficient
On ne peut pas dire qu'ici vous avez eu besoin d'aide
De rien
oui j'ai juste du changer la valeur de x pour laquelle h(x) est positive,...
est-ce que les variations et le signe suffit pour prouver que h(x) s'annule en e^1/2 ?
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