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fonction avec sinus .
Bonjour à tous.
J'ai un gros souci avec cette étude de fonction, je ne trouve aucune solution. J'ai beaucoup de mal à étudier une fonction avec les sinus.
C'est pour ça que je demande de l'aide pour cet exercice.
Je remercie bien sur tout les gens qui pourront y travailler dessus pour me venir en aide.
Merci d'avance.
Exercice:
Pour tout entier naturel n non nul, on définit la fonction fn sur [-
, ] par :
fn(x)=
( 1/n + sin²(x) )
1. Calculer fn(0) et fn().
2. Montrer que fn est une fonction paire.
3. Justifier que fn est dérivable sur [- , ] et vérifier que fn'(x)=sin(2x)/ 2( fn(x) ).
4. Étudier les variations de la fonction fn sur [0 , ].
5. Dresser le tableau de variations de fn sur [- , ].
6. Soit x un réel fixé de l'intervalle [- , ].
Déterminer la limite de fn(x) lorsque n tend vers +
.
7. On pose pour tout réel x de [- , ], 
(x)=lim n
+ fn(x)
La fonction est-elle continue en zéro ? Est-elle dérivable en zéro ?
allez courage, je sais que c'est ce qui a de plus dur mais faut en baver car en sup on fait que ça !!!!
sin(0)=O
donc fn(0) = racine (1\n)
sin(pi)=O
donc fn(pi)=racine(1\n)
une fonction paire est caractérisée par f(-x) = f(x)
sin²(-x) = sin²(x)
donc f(-x)=f(x)
3 une fonction est dériable si elle est continue sur son ensemble
ici la dérivée n'est pas évidente mais on va faire les choses par étapes ainsi
la dérivé de racine de u et u' sur 2 racine de u
ici u c'est 1\n + sin²x
donc la dérivée de u c'est la dérivée de sin²x car 1\n est une constante
la dérivée de v² c'est 2v'v donc avec v=sinx
sin²x ' = 2cosx sinx
donc ta dérivée c'est
(cos x sin x) \ (racine (1\n +sin²x)
je t'envoie la suite dans quelquesminutes
oup's ça marche pas avec le texte , je vais refaire sur un papier
j'ai peut etre fait une erreur , désolé
tu peux expliquer la dérivabilité, car la fonction sin²x est dérivalbe, et la fonction racine est dérivable, fn est dérivable comme composée de deux fonctions dérivables
d'autre part sin(2a)= 2 cos a sin a
donc on retombe bien sur ce qu'il fallait trouver
fn'(x) = 2sin x cos x sur 2 racine de 1 sur n + sin²x
fn'x = sin 2x \ 2 fn
pour les variations , comme une racine a toujours un signe positif, é est positif , tu n'as qu'à étudier le signe du numérateur,
pour le signe de sin(2x), je vais t'expliquer car ça t'aidera toujours
desine un cercle trigonométrique, dit toi que le sinus c'est l'axe des ordonnées, donc le sinus est positif pour toute valeur entre 0 et pi et négatif entre pi et 2 pi ( tout ça modulo 2 pi)
donc ça c'est pour sin x
donc x appartenant à o pi positif
x appartenant à pi 2 pi négatif
or toi tu recherches pour 2x donc ton intervalle tu le divises par deux ainsi sur O Pi\2 positif si Pi\2 Pi négatif et ensuite tu repars sur Pi à 3pi\2 positif et si 3pi\2 à 2pi c'est négatif ( la deuxième partie se trouve grace au modulo deux pi)
donc là tu as le signe de ta dérivée en faisant un joli tableau , tu en déduis les variations
pour la question6
lim 1\n quand n tend vers plus infini c'est 0
donc ça te reviens à chercher la lim de racine de sin²x,
de plus sin²x prend ses valeurs sur 0 1 donc ta limite sera entre 0 et 1 (racine de 1=1) pour la precision je sais pas trop je t'avoue
tu peux encadrer la lim mais je sais pas si on peut faire plus
pour etre rigoureux tu peux dire que la limite c'est lim de racine sin²a quand x tend vers a avec a la valeur fixé sur ton intervalle, comme ça c'est juste et très rigoureux
et tu montreras que ta compris la subtilité du problème
pour la 7 je t'avoue que j'arrive pas à comprendre à quoi correspond ta fonction béta
je pense que tu dois revenir à la définition de dérivabilité e faisant la lim beta(x) - beta(0) le tout sur x et faire la lim quand x tend vers 0 si la lim est finie c'est que c'est dérivable
pour la continuité il faut la lim quand x tend vers 0 soit beta(0)
j'espère que _a t'éclaire un peu, si tu as des questions n'hésite pas !
bonne journée
merci de votre aide.
grâce à vos réponses je vais essayer de résoudre cet exercice.
Merci encore de votre aide.
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