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Fonction caractéristique

Posté par
guufullnew
19-05-17 à 18:03

Soit  Y une v.a réelle et  Z une v.a indépendante de  Y telle que
    \mathbb{P}(Z=1)=\mathbb{P}(Z=-1)=\frac{1}{2}
1) Montrer que la loi  X=ZY est symétrique et calculer sa fonction caractéristique en fonction de  \mathbb{P}hi_Y (fonction caractéristique de  Y ). Si la v.a  Y admet la densité  f_Y sur  \R , quelle est la loi de  X ?
2) Soit  X une v.a réelle qui suit la loi de La-place standard:
        f_X(x)=\frac{1}{2}exp(-|x|)
    Montrer que, pour tout t, on a:
        \mathbb{P}hi_X(t)=\frac{1}{1+t^2}

1)  \mathbb{P}(X=x) = \mathbb{P}(ZY=x) =   \mathbb{P}(((Z=1)\cap(Y=x))\cup((Z=-1)\cap(Y=-x))) =  \mathbb{P}((Z=1)\cap(Y=x)) + \mathbb{P}((Z=-1)\cap(Y=-x)) =  \mathbb{P}(Z=1)\mathbb{P}(Y=x)+\mathbb{P}(Z=-1)\mathbb{P}(Y=-x)= \frac{1}{2}(\mathbb{P}(Y=x)+\mathbb{P}(Y=-x))=\mathbb{P}(X=-x)
    Donc  X est symétrique.
\mathbb{P}hi_X(t) = \mathbb{E}(e^{itX}) = \mathbb{E}(e^{itYZ}) puis je sais pas comment faire.
2)  \mathbb{P}hi_X(t) = \mathbb{E}(e^{itX})=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}e^{itx} dx = \int_0^{+\infty} e^{itx-x}dx   Je suis bloqué.

Posté par
lionel52
re : Fonction caractéristique 19-05-17 à 18:10

Hello !

E[e^{itYZ}] = E[e^{itYZ}(1_{Z = 1} + 1_{Z = -1})] =  E[e^{itY}1_{Z=1}] + ....
 \\ = E[e^{itY}]E[1_{Z=1}] + .... =  E[e^{itY}]P[Z=1] + .... = \frac{1}{2}( E[e^{itY}] + E[e^{-itY}]) = ...
 \\

Posté par
guufullnew
re : Fonction caractéristique 19-05-17 à 19:25

Hello Sir,
\Phi_X(t) = \frac{1}{2}(\Phi_Y(t) + \Phi_Y(-t)) non?

Posté par
guufullnew
re : Fonction caractéristique 20-05-17 à 00:14

2)
\Phi_X(t) = \mathbb{E}(e^{itX})
= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}e^{-|x|}dx = \int_0^{+\infty} e^{x(it-1)} dx = \frac{it+1}{1+t^2}
Où est ma faute?

Posté par
lionel52
re : Fonction caractéristique 20-05-17 à 00:33

sur 0,+oo
x(it-1)

sur -oo, 0
x(it+1)

Tu peux donc pas vraiment dire que t'as 2 fois la même intégrale !

Posté par
guufullnew
re : Fonction caractéristique 20-05-17 à 03:41

Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction caractéristique 20-05-17 à 09:38

salut

comment peux-tu parler de l'événement (X = x) ?

Y est une va réelle donc elle peut très bien être continue ...

il faut donc montrer que P(X < x) = P(X > -x) pour tout réel x positif ... ou P(X < - x) = P(X > x)

ce me semble-t-il ...

Posté par
guufullnew
re : Fonction caractéristique 21-05-17 à 17:49

j'ai pas compris ce que vous dissiez

Posté par
carpediem
re : Fonction caractéristique 21-05-17 à 18:54

Z est discrète (de Bernoulli) donc tu peux parler de l'événement (Z = z)

mais tu dit que Y est une va réelle et rien de plus donc si elle est continue tu ne peux parler de l'événement (Y = y) mais seulement des événement (y < y) et (Y > y)

et X = YZ est alors aussi continue ...

Posté par
guufullnew
re : Fonction caractéristique 21-05-17 à 23:11

C'est vrai donc il faut travailler avec P(X>x)=P(((Z=1)\cap (Y>x))\cup ((Z=-1)\cap (Y<-x))) = \frac{1}{2}(P(Y>x)+P(Y<-x))=P(X<x) c'est vrai?

Posté par
carpediem
re : Fonction caractéristique 22-05-17 à 15:33

comment justifies-tu la dernière égalité ?

Posté par
guufullnew
re : Fonction caractéristique 23-05-17 à 16:01

l'indépendance monsieur

Posté par
veleda
re : Fonction caractéristique 23-05-17 à 18:04

bonjour,
il me semble que tu as calculé  P(X>x)

Posté par
guufullnew
re : Fonction caractéristique 23-05-17 à 20:43

oui et elle est égale à P(X<-x)

Posté par
veleda
re : Fonction caractéristique 23-05-17 à 22:07

oui mais tu as écrit =P(X<x)

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