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Niveau terminale
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Fonction composée

Posté par
Tsahal
12-04-09 à 19:55

Dans les annales de maths exercices 4 sur les fonctions, on me fait étudier la fonction f définit sur [0;1] par:
f(x) = x - 2x + 1
on me demande de démontrer que:
(fof)(x) = x
Ce que j'ai fait en remarquant tout de suite que f(x) = (1-x)2 ou (x - 1)2
Ensuite on me demende d'en déduire une remarque sur la courbe représentative de f afin de pouvoir la tracer. Que peut on en déduire?

Posté par
pgeod
re : Fonction composée 12-04-09 à 20:02


le fait que fof(x) = x permet de dire que si M(x; y) appartient
à la courbe représentative, alors M'(y; x) également.

regarde quelles sont les coordonnées de I milieu de [MM']

...

Posté par
arthurjorge
Fonction composée 12-04-09 à 20:06

fof(x)=x signifie que f est involutive ce qui veut encore dire que f=f-1

Posté par
Tsahal
re : Fonction composée 12-04-09 à 21:05

M(x;y)
M'(y,x)
Alors I milieu de [MM'] a pour coordonnées:
I ( (x+y)/2 ; (y+x)/2 )
On en conclut qu'il appartient à la droite y=x
Quel intérêt on tire démontrer cette propriété pour le tracer de la courbe représentative de f.

Comment peut on affirmer que f = f-1
Cela implique déja de changer d'intervalle car f-1 n'est pas définit en 1 et de plus cela ne fonctionne pas avec l'expression de f fait le test avec 1/2 par exemple.

Posté par
Tsahal
re : Fonction composée 12-04-09 à 21:10

J'oubliais, comment tu démontre que si (fof)(x) = x alors si M à f a pour coordonnée (x,y) alors M' qui a pour coordonée (y;x) appartient également à f, svp ?

Posté par
pgeod
re : Fonction composée 12-04-09 à 21:37

Citation :
On en conclut qu'il appartient à la droite y=x
Quel intérêt on tire démontrer cette propriété pour le tracer de la courbe représentative de f.
que la courbe est symétrique par rapport à la droite y = x.

Citation :
J'oubliais, comment tu démontre que si (fof)(x) = x alors si M à f a pour coordonnée (x,y) alors M' qui a pour coordonée (y;x) appartient également à f, svp ?
f(x) = y --> point M(x; y)
or fof(x) = f(f(x)) = f(y) = x --> point M'(y; x)

...

Posté par
garnouille
re : Fonction composée 12-04-09 à 21:38

fof(x)=f[f(x)]=f[(1-x)²]=(1-(1-x)²)²=....

Posté par
arthurjorge
equation trop dur 12-04-09 à 21:41

nous savons que fof-1(x)=x donc si nous avons fog(x)=x, cela signifie que g=f-1 et si g =f alors on a f = f-1.

Posté par
Tsahal
re : Fonction composée 12-04-09 à 21:57

Merci Pgeod

D'où savons nous que fof-1(x) = x ?
Je prend f(x)= x donc f-1(x)= 1/f(x) = 1/x
fof-1(x) = f(1/x)= 1/x
Donc (fof-1)(x)x

Posté par
pgeod
re : Fonction composée 12-04-09 à 22:32


pour que f-1 existe, il faut que f soit bijective.
toutes les applications ne sont pas bijectives.
une application involutive est bijective.

Citation :
Je prend f(x)= x donc f-1(x)= 1/f(x) = 1/x

cette formulation est fausse : Il ne s'agit pas d'un produit
de fonction, mais d'une composée de fonctions.

si f(x) = y, la définition de f-1 est que f-1(y) = x
et donc f-1of(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x
et donc fof-1 = Id (Identité)
de la même manière f-1of = Id (Identité)

...

Posté par
arthurjorge
re : Fonction composée 12-04-09 à 22:33

NON!!!!!!!!!!!

f(x)=x donc f-1(x)=1/x d'accord mais fof-1(x)=1/1/x=x et non 1/x. revérifie!



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