Bonjour,
Cherche à trouver deux réels p et q tels que f(p) < p et f(q) > q.

Je te conseille de commencer par traiter le cas f(a) < a.

Merci pour avoir répondu.
Un raisonnement par absurde? En supposant qu'il n'existe pas un c: f(c)=c, c-à-d soit f(c)<0 soit f(c)>0 ?

Pardon; f(c)<c ou f(c)>0 .

Mon dieu! f(c)<c ou f(c)>c ^_^'.

Non, raisonner par l'absurde ne me semble pas une bonne idée.

Je détaille un peu plus la mienne :
L'objectif est de démontrer que f(x)-x change de signe.

Si f(a) < a, alors f(a)-a < 0 et il reste à trouver q tel que f(q) > q.
N'oublie pas que f(f(a)) = a.

fof est continue sur car:
*f est continue sur ;
*f().
De plus, (a): fof(a)=a; autrement dit, l'équation fof(x)-x=0 admet au moins une solution dans . Par suite, xfof(x)-x  change de signe sur .

Mais comment en sortir qu'il existe x de R tel que f(x)<x ou f(x)>x ??

Tu lis mes messages ????

Tu as 3 cas possibles :
f(a) < a
f(a) > a
f(a) = a.

Je t'ai déjà conseillé de commencer par le premier cas, c'est à dire f(a) < a.
Relis mon message de 8h57.

D'accord
C'est vrai qu'on met un certain temps à mettre en forme son message tout en réfléchissant.
Tu n'as pas perdu ton temps. Chercher et tourner autour du pot est toujours utile

* Si f(a)<a, c-à-d, si f(a)=q tel que q<a, alors: f(a)-a<0q-a<0. D'ailleurs:
f(f(a))=a, donc: q-f(f(a))<0q-f(q)<0f(q)-q>0.
*Si f(a)>a, c-à-d, si f(a)=p tel que p>a, alors: f(a)-a>0p-a>0. D'ailleurs:
f(f(a))=a, donc: p-f(f(a))>0p-f(p)>0f(p)-p>0.
*Si f(a)=a, alors f(a)-a=0, c-à-d:x f(x)-x s'annule en a. Par suite x f(x)-x change de signe dans (Vu qu'elle est continue sur celui-ci).

* Si f(a) < a, c-à-d, si f(a)=q et q < a, alors: f(a)-a < 0 q-a < 0.
D'ailleurs:
f(f(a))=a, donc: q-f(f(a)) < 0 q-f(q) < 0 f(q)-q > 0.
f(a)-a < 0 et f(q)-q > 0 ; donc f(x)-x change de signe dans .

J'aménage un peu :
*Si f(a) > a, c-à-d, si f(a)=p et p > a, alors: f(a)-a > 0 p-a > 0. D'ailleurs:
f(f(a))=a, donc: p-f(f(a)) > 0 p-f(p) > 0 f(p)-p < 0.
f(p)-p < 0 et f(a)-a > 0 ; donc f(x)-x change de signe dans .

Dans les deux cas .... car x f(x) - x est continue sur .

*Si f(a)=a, alors f(a)-a=0, c-à-d:x f(x)-x s'annule en a.

A toi de compléter les pointillés.

Dans les deux cas x f(x)-x change de signe dans , donc il existe c, tel que: f(c)-c=0 c-à-d: f(c)=c, comme x f(x)-x est continue sur .

J'ai compris ^-^. Merci énormément Sylvieg!

De rien, et à une autre fois sur l'île