bonjour, Je voudrai savoir si j'ai fait une erreur :

Soit f une fonction de R^2 dans R telle que f(x,y) = x^2 + exp(y)
Montrer que f est convexe. Ecrire son gradient, sa différentielle.

Pour tout x,y dans R, f(x,y) = x^2 + exp(y) donc f est C_infinie. f différentiable.
d/dx [f(x,y)] = 2x
d/dy [f(x,y)] = exp(y)

d^2/dx^2 [f(x,y)] = 2
d^2/dy^2 [f(x,y)] = exp(y)

d^2/dxdy [f(x,y)] = 0
d^2/dydx [f(x,y)] = 0

Son gradient est :
grad(f(x,y))= (    2x    )
                            (exp(y))

Sa différentielle est :
df(x,y)(h k) = grad(f(x,y)) (h k)^t = 2xh + exp(y)k

Sa matrice Hessienne est :
Hess_f(x,y) = (2           0    )
                             (0    exp(y))

Sa matrice hessienne est définie positive (valeur propre strictement positif ou Tr(Hess_f(x,y))>0 et Det(Hess_f(x,y))>0)
Donc f est strictement convexe donc convexe.
merci !