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Fonction de compte des nombres premiers

Posté par
Meiosis 29-06-22 à 20:03

Bonjour,

Je suis en train d'étudier la fonction \pi(x) qui est la fonction de compte du nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier naturel x et j'aimerais prouver une propriété.

On définit la fonction \sigma(x) comme étant la fonction qui somme les diviseurs de x et la fonction \pi(x) comme étant la fonction de compte du nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.

J'aimerais démontrer qu'il suffit que x soit un entier naturel tel que \pi(2x+1) = p+1 avec p un nombre premier tel que p \equiv 1 \pmod 4 pour que \sigma(\pi(2x+1)+1) \equiv 0 \pmod 4.

Par exemple pour x=6 on a \pi(2*6+1) = 6 = 5 + 1 et on a bien 5 \equiv 1 \pmod 4 donc \sigma(\pi(2*6+1)+1) \equiv 0 \pmod 4.

J'ai commencé par remarquer que si \pi(2x+1) = p+1 avec p \equiv 1 \pmod 4 alors \pi(2x+1) \equiv 2 \pmod 4 et donc \pi(2x+1)+1 \equiv 3 \pmod 4.

On en déduit que :   \sigma(\pi(2x+1)+1) \equiv 0 \pmod 4.

Il reste à prouver que x  doit être choisi tel que\pi(2x+1) = p+1 avec p un nombre premier tel que p \equiv 1 \pmod 4.

En fait je suis parti de la propriété à démontrer mais je n'ai pas démontré la base...

Je vous remercie.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonction de compte des nombres premiers 30-06-22 à 01:37

Bonsoir Meiosis

il me semble qu'on peut montrer un résultat plus général qu'est le suivant :

Soit \Large n un entier naturel tel que \Large \boxed{n\equiv 3\pmod 4} alors \Large \boxed{\sigma(n)\equiv 0\pmod 4}.


Preuve :

Soit \Large \boxed{n=p_1^{\alpha_1}...~p_s^{\alpha_s}} la décomposition en produit de facteurs premiers de n,

il est clair que les s facteurs p_1^{\alpha_1},...~,~p_s^{\alpha_s} sont tous impairs et donc tous congrus à 1 ou 3 modulo 4


je te laisse voir pourquoi ils ne peuvent pas être tous congrus à 1 modulo 4


il existe donc au moins un facteur p_i^{\alpha_i} congrus à 3 modulo 4


je te laisse (encore une fois ) voir pourquoi on a nécessairement p_i\equiv 3\pmod4 et \alpha_i impair.


D'une autre part il n'est pas difficile de voir que \Large \boxed{\sigma(n)=\sum_{(\beta_1,...,\beta_s)\in\{0,...,\alpha_1\}\times...\times\{0,...,\alpha_s\}}p_1^{\beta_1}...~p_s^{\beta_s}}


et donc \Large \boxed{\sigma(n)=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{\alpha_1})(1+p_2+p_2^2+...+p_2^{\alpha_2})...(1+p_s+p_s^2+...+p_s^{\alpha_s})}


et on voit alors que le facteur (1+p_i+p_i^2+...+p_i^{\alpha_i}) divise \sigma(n)


or (du fait de l'imparité de \alpha_i) on a \Large \boxed{1+p_i+p_i^2+...+p_i^{\alpha_i}=(1+p_i)(1+p_i^2+p_i^4+...+p_i^{\alpha_i-1})=(1+p_i)\sum_{j=0}^{\frac{\alpha_i-1}{2}}p_i^{2j}}


je te laisse conclure sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Meiosisre : Fonction de compte des nombres premiers 02-07-22 à 13:40

Bonjour,

C'est gentil pour votre réponse, j'ai compris mon erreur.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonction de compte des nombres premiers 02-07-22 à 18:37

C'est un plaisir Meiosis


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