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fonction definie par un intégrale
salut les matheux
j'ai besoin de l'aide pour resoudre cette exercice :
A - Pour tout x]
,
] on pose F(x)=
avec f(x)=
pour toutx
]
,
]
1 - Justifier l'existence de F(x)
2 - montrer que pour tout x]
,
]on a : F(x)
x(1-
).En deduire
3 - a) Montrer que pour tout x>on a F(x)=
-1+2
avec
=
b) En deduire que pour tout x1 on a : F(x)
-1
En deduire
B - Pour n1 on pose
=
avec
=
1 - Montrer que la suite ()est decroissante et qu'elle est convergente .
2 - montrer que pour tout n 1 on a
(1-
)
(1-
)
determiner
j'ai trouvé la défficulté en montrant les inégalités en A -2 et en 3-b .B -2 et merci d' avance
Salut allal
Es tu sûr des bornes de ton intégrale?
Pour x appartenant à ]1/e,1], j'aurais dit qque les bornes allaient de ln x à 1.
Peut être qque je me trompe
Tu as:
ln(x)<t<0 => 1 < 1/(1+t) < 1/(1+ln x)
d'ou en multipliant par exp t qui est >0:
exp(t) < exp(t)/(1+t) < exp(t)/(1+ln x)
d'ou en intégrant:
F(x)<1/(1+ln x) 
exp(t)dt (entre 0 et lnx)
donc F(x)< (x-1)/(1+ln x)
Or pour x dans ]1/e,1], tu montres que xln (x) -x+1>0
donc que xln (x)> x-1
d'ou F(x)< xlnx/(1+ln x)
Or x(1-1/(1+ln x))=xlnx/(1+ln x)
d'ou le resultat.
3.a.
En faisant une IPP, en derivant 1/(1+t)² et en intégrant exp(t), tu as:
F(x)=[exp(t)/(1+t)²] (a prendre entre 0 et ln(x)) +2f3(t)dt
d'ou F(x)=x/(1+ln x)² -1 + 2f3(t)dt
3.b.
Pour x>1, Tu as:
F(x)- (x/(1+ln x)² -1 )=2 f3(t)dt
Or f3(t)>0 donc il en est de meme de l'intégrale car pour x>1 ln (x)>0
donc F(x)- (x/(1+ln x)² -1 )>0
d'ou F(x) > x/(1+ln x)² -1
donc lim F(x) = +oo quand x->+oo
B.
1.
On a:
In+1 - In= ( de 0 à 1) exp(t)/(1+t)^n *(-t/(1+t)) dt
Or exp(t)/(1+t)^n > 0 pour 0<t<1 et 1+t>0
donc In+1 - In <0
d'ou In est decroissante.
In est minorée par 0 (car exp(t)/(1+t)^n > 0)
donc In est decroissante et minorée donc elle converge.
Pour la B.2, je vais y réfléchir demin
(Mes journées commencent très très tôt)
Joelz
salut et merci pour l' aide qui nous eclaircit la solution de l'exercice quand on a utilisé la correction de l'erreur que j'ai déjà mentionné
on a trouvé F(x)<
et xlnx>x-1 donc on a F(x)<(1-
)
on prend <x ( est - ce -qu'il est juste?)
F(x)<x(1-)pour la question B-2 il ya aussi une erreure n>2mais n'est pas sup ou egale à 1. peut on faire une demonstration par recurrence ?
et bonne nuit et à demain
allal
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