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fonction, dérivée, signe

Posté par
Nelcar 27-12-20 à 14:04

Bonjour,
voici un exercice que j'essaye de faire ayant des difficultés avec le tableau des signes.

On considère la fonction f définie sur par f(x)=(x²-x)/(x²+1) et Cf sa courbe représentative.
1) justifier que f est définie et dérivable sur
2) Calculer f'(x) et étudier son signe
3) dresser le tableau de variations de la fonction f

voici ce que j'ai fait :
1) f est définie et dérivable sur car c'est le quotient de deux fonctions polynômes de degré 2 et que le dénominateur x²+1 est positif (x² toujours positif) et différent de 0
2)
je calcule la dérivée
forme u/v   (u'v-uv')/v²   u(x)= x²-x    v(x)= x²+1  u'(x)=2x    v'(x)= 2x donc
f '(x)= (2x*(x²+1)-(x²-x)*2x)/((x²+1)²
f ' (x)= (2x²+2x)(x²+1)²   =(x(2x+2))/(x²+1)²

x       - infini                                           1                                      + infini

2x+2                                    -                  0                    +

(x²+1)²                                  +                                       +

x                                           +                                       +

(2x²+2x)/(x²+1)²                 -                 0                      +


f(x)                     flèche descendante                        flèche montante


j'ai du mal avec le tableau des signes, si vous avez des explications ça m'intéresse

MERCI
                        

Posté par
caritare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 14:09

bonjour Nelcar

f(x)=(x²-x)/(x²+1)

2)
forme u/v   (u'v-uv')/v²    ---- oui
u(x)= x²-x  ---  u'(x)=2x    faux
v(x)= x²+1  --- v'(x)= 2x

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 14:13

Bonjour

Peu nous chaut que le dénominateur soit positif, ce qui importe est qu'il soit non nul

Bonjour carita je vous laisse poursuivre

Posté par
caritare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 14:16

bonjour hekla
vous pouvez poursuive si vous êtes disponible.

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 14:23

Je garderai un œil dessus

Posté par
Nelcarre : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 15:07

Re,
je n'ai toujours pas de notifications de réponse c'est embêtant mais tant pis
donc je réponds :
Carita : oui grosse erreur de ma part
u'=2x-1
Hekla : pris note : dénominateur non nul
je vais donc reprendre avec le nouveau u'
(2x-1)(x²+1)-(x²-x)2x   le tout sur (x²+1)² pour l'instant je laisse le dénominateur de côté pour faire mes calculs donc
2x2-2x-x²+1-2x3+2x²  = x²-2x+1 ça me donne une identité remarque qui est (x-1)²

x              - infini                                         1                                         + infini

x-1                                      -                         0              +

(x²+1)²                                 +                                       +

f(x)                                     -                         0                +
                        flèche descente                               flèche montante

MERCI

avez-vous des conseils ou des astuces pour le tableau des signes  (surtout avec les ln)

Posté par
caritare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 15:19

numérateur :

(2x-1)(x²+1)-(x²-x)2x = revois développement et réduction,  tu dois trouver x²+2x-1

Posté par
caritare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 15:23

une remarque :

tu as trouvé (x-1)² au numérateur - ce qui est faux, mais admettons.
dans ce cas le carré (x-1)² étant toujours positif ou nul, ton tableau de variation serait faux.
tu vois ?

Posté par
caritare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 15:31

je t'ai trouvé cette fiche (exos corrigés) pour t'entrainer sur les tableaux de signes.
cinq exercices utilisant les tableaux de signes
c'est ce que tu cherches ?

Posté par
Nelcarre : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 15:33

Re,
oui en effet Carita j'ai pris un +1 pour -1 donc je refais
en effet je retrouve comme toi à savoir x²+2x-1
dans mon tableau j'aurai dû mettre (x-1)² mais comme c'est faux. Je refais

je calcule le discriminent je retrouve 8 donc positif deux racines x1=(-2+2)/4=(-1+2)/2   et  x2=(-1-2)/2

avant d'aller plus loin est-ce bon ?

MERCI

Posté par
caritare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 15:39

pourquoi "sur 4" ?

x²+2x-1 = 0       ----       a = 1    b = 2    c = -1

= 8 >0       donc 2 racines
= 8 = 2 2

x1=(-2+22)/2= -1+2

et  x2=...?

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 15:42

Non \sqrt{8}=2\sqrt{2} et pourquoi diviser par 4 :2\times 1=2

En poursuivant sur votre erreur

x^2-+2x-1=(x-1)^2-2=(x-1)^2-(\sqrt{2})^2 il n'y a donc pas de dénominateur

Posté par
Nelcarre : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 15:59

Re,
ah oui Carita j'ai encore fait une erreur c'est bien 2

donc x1= -1+2
et x2=-1-2
oui Hekla j'ai fait une erreur

donc maintenant le tableau des signes

x            - infini              -1-2        1       -1+2          + infini
x²+2x-1               -               0                  +                                         0    -

(x²+1)²                +                                  +                                               +

f(x)                     -                                   +                                               -

mais j'ai énormément de mal avec le tableau des signes

MERCI

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 16:08

\Delta >0
Un trinôme du second degré est du signe de a (a=1) donc positif  sauf pour les valeurs comprises entre les racines.

Vous avez écrit l'opposé

Posté par
Nelcarre : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 16:28

Re,
oui le discriminent est positif

donc maintenant le tableau des signes

x            - infini              -1-2        1       -1+2          + infini
x²+2x-1               -               0                  +                                         0    -

(x²+1)²                +                                  +                                               +

f(x)                     +                      -               +                                               -

mais j'ai énormément de mal avec le tableau des signes

ok pour f(x) mais les autres ce n'est pas bon car si je fais les opérations je ne retrouve pas ses signes là

j'ai du mal avec le tableau

MERCI

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 16:34

Vous n'avez pas tenu compte de ce que j'ai dit  vous avez réécrit la même chose

fonction, dérivée, signe

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 16:39

D'une manière générale on a ceci  ou la formulation de 16 : 08

fonction, dérivée, signe

Posté par
Nelcarre : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 16:44

Re,
j'avais rectifié la ligne de f'(x)

je ne comprend pas pourquoi vous mettes en-dessous de x : x+1-2 : pourquoi le x

MERCI

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 16:53

Il fallait rectifier aussi la première ligne sinon c'est incohérent

\Delta >0, \quad ax^2+bx+x= a(x-x_1)(x-x_2)

donc dans votre problème on a x^2+2x-1=(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})

Dans le tableau  sur la première ligne  les valeurs rencontrées
sur la deuxième ligne   le premier facteur
sur la troisième ligne le second facteur
enfin sur la dernière ligne  le résultat obtenu en appliquant la règle des signes

Posté par
Nelcarre : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 17:02

ok
je ne savais pas (ou je ne me souviens pas) d'avoir vu
a(x-x1)(x-x2)
là je comprend mieux

OK

Merci à vous

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 17:16

Il reste le tableau mais cela doit être sans problème  Il reste  à compléter par
les valeurs
fonction, dérivée, signe
De rien

Posté par
Nelcarre : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 17:30

Re,
oui j'avais fait ce que tu viens de mettre
faut-il faire autre chose

MERCI

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 17:54

Ce que je vous ai dit   les limites en \pm \infty et f(-1-\sqrt{2}) et f(-1+\sqrt{2})

Astuce  si \alpha est une valeur qui annule la dérivée  alors f(\alpha)=\dfrac{u'(\alpha)}{v'(\alpha)}

en effet vous avez f'(\alpha)=\dfrac{u'(\alpha)v(\alpha)-v'(\alpha)u(\alpha)}{v(\alpha)^2}=0

donc le numérateur est nul donc u'(\alpha)v(\alpha)-v'(\alpha)u(\alpha)=0 mais ceci est équivalent  à \dfrac{u(\alpha)}{v(\alpha)}= \dfrac{u'(\alpha)}{v'(\alpha)}=f(\alpha)

Posté par
Nelcarre : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 18:09

ok

mais là mon cerveau ne veut plus rien savoir

Un grand MERCI

Posté par
heklare : fonction, dérivée, signe 27-12-20 à 18:11

De rien


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