Niveau terminale

fonction et suite

Posté par dickie (invité) 14-10-05 à 23:27

Bonjour,

Quelqu'un peut-il m'aider ??

Exercice :
on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x^3-4}{x^2+1$ et on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).

1) Etude d'une fonction auxiliaire
On pose $g(x) = x^3+3x+8$
a) Etudier le sens de variation de g, et montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude 0,1.
b) Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$ .

2)a) Calculer $f'(x)$ et étudier le sens de variation $f$ .
  b) Etudier les limites de $f$ en + $\infty$ et en $-\infty$ , puis dresser le tableau de variation de $f$ .

3)a)Montrer qu'il existe quatre réels $a,b,c et d$ tels que :
$f(x)= ax+b+\frac{cx+d}{x^2+1}$
b) En déduire que C admet une asymptote oblique $\Delta$ , et étudier la position de C par rapport à $\Delta$ .
Vérifier en particulier que C rencontre $\Delta$ en un unique point A.

4)Déterminer les abcisses des points B et B' de C admettant une tangeante parallèle à $\Delta$ .

5)a)Vérifier que $f(\alpha)=\frac{3}{2}\alpha$ ; en déduire une valeur approchée de $f(\alpha)$ .
  b) Tracer $\Delta et C$ en plaçant les points A,B et B' ainsi que les trois points I, J et K d'abscisses respectives 1,2 et -1 avec leurs tangeantes.

MA REPONSE
$f(x)=\frac{x^3-4}{x^2+1$ définie sur $\mathbb{R}$
1)a) $g(x)=x^3+3x+8$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$
car c'est un polynome
$g'(x)=3x^2+3$

$\Delta =$ 0-4 x3x3
$\Delta = -36<0$ donc le polynome n'a pas de racine et est du signe de 3.
$g'>0$ sur $\mathbb{R}$ donc g est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
$\lim 3x^2+3=+\infty {x\to}+\infty$
$\lim 3x^2+3=+\infty {x\to}-\infty$
$0\in \mathbb{R}$ donc d'après le théorème de la bijection il existe un unique réel $\infty \in\mathbb{R}$ tel que $g(x)=0$
$g_{(-1)}=4$ $g_{(-2)}=-6$
donc $\infty\in [-2;-1]$
$\infty\in [-1,6;-1,5]$
b) $g_{(x)}=x^3+3x+8$
2)a)f{(x)}= $\frac{x^3-4}{x^2+1}$
$u_{(x)}=x^3-4$      $v_{(x)}=x^2+1$
$u'_{(x)}=3x^2$    $v'_{(x)}=2x$
$f'_{(x)}=\frac{3x^2(x^2+1)-2x(x^3-4)}{(x^2+1)^2}$
$f'_{(x)}=\frac{3x^2-2x(x^3-4)}{(x^2+1)}$
$f'_{(x)}=\frac{3x^2-2x^4+8x}{(x^2+1)}$
$x^2+1>0$ donc $f'_{(x)}$ est du signe de
$3x^2-2x^4+8x$

Posté par re : fonction et suite 14-10-05 à 23:57

bonsoir,

heuresement que tu as quand meme repondu a des questions sinon je n aurais pas essayer....

dans la question 2a) tu as un carre qui c est perdu au denominateur le denominateur de f est (x²+1)²

tu t es egalement trompe au numerateur:
3x²*(x²+1)-2x*(x^3-4)=3x^4+3x²-2x^4+8x=x^3+3x²-8x

donc f'(x)=[x^3+3x²+8x]/(x²+1)²=g(x)/[x²+1]²

tu peux continuer en appliquant les resultats du 1)

Posté par re : fonction et suite 15-10-05 à 00:03

Bonsoir,

tu n'as pas besoin de passer par le discriminant pour dire que g'(x)>0 quelque soit x (somme de deux nombres positifs dont l'un l'est strictement)

Pour les limites calculer c'est les limites de g qu'il faut calculer et pas celle de g' (mais ce la doit être une faute de frappe...)

Pour appliquer le théorème de la bijection il te faut préciser que ta fonction est continue sur R.

Bizarre ton calcul de g(-1) et g(-2) pourquoi ne pas calculer directement g(-1,5) et g(-1,6)

Le signe de g se déduit facilement mais tu n'en parle pas dans ta solution

sinon pour le calcul de f' tu as du te planter car à mon avis tu devrais retrouver g au numérateur (sinon cela ne sert à rien d'étudier une fonction auxiliaire non (on trouve xg en fait )

Salut

Posté par dickie (invité)re : fonction et suite 16-10-05 à 12:11

Comment déduire le signe de g dans la question 1) b- ?

Posté par dickie (invité)re : fonction et suite 16-10-05 à 14:52

C'est bon j'ai fait un tableau de signe pour g(x).
J'ai trouvé pour la question 2) a-
f'(x) = x * g(x) / (x²+1)²
je trouve f croissante sur ]- l'infini ; alfa ] et sur [ 0 ; + l'infini [
et f décroissante sur [ alfa ; 0 ]

Je pense qu'il n'y a pas d'erreur merci de me les signaler si il y en a.

Posté par dickie (invité)re : fonction et suite 16-10-05 à 15:41

Pour le 3)
je trouve a = 1
          b = 0
          c = -1
          d = -4
et la droite y = x asymptote oblique à C et + ou - l'infini
Pour la position C est en dessous pour x > -4 et au dessus pour x < -4 Avec un croisement au point a d'absice égal à -4.
Est-ce bon ??

Par contre je bloque vraiment pour la question 4) Quelqu'un pourrait-il me mettre sur la voix sans me donner les résultat mais juste une aide ou le début de la résolution.
Merci Je ne demande pas toute la résolution car ça ne servirait à rien mais juste un aiguillage qui m'aiderait bien !

Posté par dickie (invité)re : fonction et suite 16-10-05 à 19:27

S'il vous plait quelqu'un peut-il m'aider, je bloque vraiment !!!

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