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Fonction et suite

Posté par Profil Fifaliana36 24-07-19 à 19:49

Bonjour,
J'ai besoin d'un petit soutien sur cet exo

Soit la fonction f définie par
f(0) = 0
f(1) = 1
f(x)=\frac{x-1}{ln\left| x\right|} si x≠0 et x≠1

Partie A
1)a) Déterminer l'ensemble de définition D de f
b) Montrer que f est continue aux points d'abscisses x0=0 et x1=1.
c) Étudier la dérivabilité de f au pt d'abscisse x0=0
2) On considère la fonction définie par: pour tout x*: (x)= 1-x+x ln|x|.
a) Étudier les variations de et dresser son tableau de variation.
b) Montrer qu'il existe un réel unique ]-4;-3[.
c) En déduire, suivant les valeurs de x, le signe de (x).
3)a) Vérifier que f'()=0 et que f()= .
b) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
4) a) Étudier les branches infinies de (C).
b) tracé de (C).
Partie B
Pour n*,
on pose In=\int_{\frac{1}{n}}^{1}{f(t)}dt.
Et, on note  
I=\int_{0}^{1}{f(t)}dt

Soit k la fonction définie sur ]0;1] par :
x ]0;1],
k(x)=\int_{x^2}^{x}{\frac{f(t)}{t}}dt

1) a) montrer que k est dérivable sur ]0;1], calculer k'(x).
b) Montrer que x]0;1],  f(x)-2f(x2)=-xf(x)
c) En déduire que
In=\int_{\frac{1}{n^2}}^{\frac{1}{n}}{\frac{t-1}{t\ln t}}dt
2)a) Pour n *-{1} et t ]0,\frac{1}{n}]; montrer que :
0\leq-\frac{1}{ln t}\leq\frac{1}{\ln n}.
b) En déduire quen*,

0\leq\left|\int_\frac{1}{n^2}^{\frac{1}{n}}{\frac{dt}{\ln t}}\right|\leq \frac{1}{n\ln n}
3) a) pour n*-{1}, vérifier que:
\int_{\frac{1}{n^2}}^{\frac{1}{n}}{-\frac{dt}{t\ln t}}= ln 2
b) A partir des questions 1)c), 2)b) et 3)a(, déterminer limn+ In
4) a) Établir que pour n *,
I-In=\int_{0}^\frac{1}{n}{f(t)} dt
b) en déduire que0\leq I-I_n\leq \frac{1}{n}
c) En déduire la valeur en cm2 de l'aire du domaine-plan limitée par: la courbe (C), l'axe x'0x, les droites d'équations : x=0 et x=1.

Sur la partie A

1) a) J'ai trouvé D=-{-1}
b) Elle est continue en ces points.
c) Elle n'est pas dérivable en 0 car ça donne .
2)a) J'ai un petit souci sur les limites aux bornes du domaine de définition de .
Par contre j'ai trouvé les variations de.
b) En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, comme est continue et stnt croissante sur]-4;-3[, et (-4)*(-3)<0 alors il existe un réelsur cet intervalle tel que ()=0.
c) j'ai besoin des limites pour trouver le signe de(x).
3) a) j'ai trouvé
f'(x)=\frac{\phi (x)}{xln\left| x\right| }
Donc comme ()=0 donc f()=0.
Pour f()= j'ai fait la substitution de ln||
b)ça ira pour le reste.

Partie B
1) a)  k(x)=\int_0^{x}\frac{f(t)}{t}dt-\int_0^{x^2}\frac{f(t)}{t}dt
On pose:
F_1(x)=\int_0^{x}\frac{f(t)}{t}dt
Et la fonction à l'intérieur de l'intégrale est continue sur ]0;1] donc F'1(x)=\frac{f(x)}{x} et F'2(x)=\int_0^{x^2}{\frac{f(t)}{t}}dt
et f1(x)=x2 et f'1(x)=2x.
Donc k(x)= F1(x)-F1rond f1
Donc, k'(x)= \frac{f(x)-2f(x^2)}{x}
Pour tout x]0;1].

Je ne sais pas comment m'y prendre prendre pour m'y prendre à la suite.

Merci d'avance à la suite.

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 24-07-19 à 21:00

salut

1a/ ok
1b/ ben c'est l'énoncé ... donc je te fais confiance ...
1c/ je ne peux que te faire confiance ...

2a/ f(x) = 1 - x (1 - ln |x|) permet de calculer les limites
2b/ ok (du moins je te fais confiance)
2c/ ben non !!! les limites sont inutiles pour déterminer le signe de f lorsqu'on connait ses variations et ses zéros !!!

3/ et suivantes ... ça ira pour la suite ...

partie B.

il me semble peu judicieux de passer par 0 vu le dénominateur de l'intégrande ...
je serais plutôt passer par 1 ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 25-07-19 à 15:51

D'accord, mais quoi qu'il en soit je cale sur la levée de l'indétermination.
Et pour la partie B ça marche, mais pour la suite je ne sais pas faire sortir l'expression demandée.

Posté par
larrechre : Fonction et suite 25-07-19 à 17:23

Bonjour,

En écrivant que (x)=1+x(-1+ln|x|) , il n'y a pas d'indétermination en

Ensuite, de quelle expression s'agit-il ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 25-07-19 à 20:06

Pour la partie A, c'est fait.
Partie B maintenant,
Comment faire sortir l'expression
f(x)-2f(x2)=-xf(x)

Posté par
larrechre : Fonction et suite 25-07-19 à 20:54

Il faut commencer par expliciter f(x^2). Vous avez essayé ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 25-07-19 à 21:20

Bien sûr,
J'ai précédemment obtenu l'expression de k'(x) dans 1)a)
k'(x)=\frac{f(x)-2f(x^2)}{x}
Je ne sais pas si je devrais passer à l'intégrale ou quoi pour faire sortir l'expression de 1)b)

Posté par
larrechre : Fonction et suite 25-07-19 à 21:38

Non, c'est plus simple que ça.

f(x)=\dfrac{x-1}{ln|x|} ce qui implique  f(x^2)=\dfrac{x^2-1}{lnx^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{2ln|x|}

D'où f(x)-2f(x^2)=...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 25-07-19 à 21:49

Merci.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 25-07-19 à 22:13

Pour c) j'ai fais
On pose x=1/n et x2=1/n2
Donck(\frac{1}{n})=\int_{\frac{1}{n^2}}^{\frac{1}{n}}{}\frac{t-1}{t\ln t}dt\: et\; f(t)-2f(t^2)=tk'(t)=-tf(t)

Et\int_{1}^{\frac{1}{n}}{k'(t)}=\int_{1}^{\frac{1}{n}}{f(t)}dt

Ainsik(\frac{1}{n})=\int_{\frac{1}{n^2}}^{\frac{1}{n}}{\frac{t-1}{t\ln t}}dt = I_n

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 25-07-19 à 22:19

Et pour 2)a)
t≤1/n  donc ln t≤ -ln n
-\frac{1}{ln t}\leq \frac{1}{ln (n)}
Et comment monter
0\leq -\frac{1}{ln t}?

Posté par
larrechre : Fonction et suite 25-07-19 à 23:04

2c/  Il faut reprendre les deux dernières lignes.

\int_1^{1/n} k'(t) dt=k(1/n)-k(1)=k(1/n) puisque k(1)=0

mais \int_1^{1/n} k'(t) dt=-\int_1^{1/n} f(t) dt=\int_{1/n}^1 f(t) dt

et en définitive k(1/n)=\int_{1/n}^1 f(t) dt=I_n, ce qu'on voulait

Posté par
larrechre : Fonction et suite 25-07-19 à 23:10

Il s'agissait de 1c/

Pour 2a/, 0 <t<1, donc ln(t)<0 et -ln(t)>0,  de même que son inverse

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 26-07-19 à 17:26

Donc pour 2/a/
On met juste 0\leq \frac{-1}{\ln t} ?

Et pour 2/b/
J'ai fait0\leq -\int_{1/n^2}^{1/n}{\frac{dt}{\ln t}} \leq \int_{1/n^2}^{1/n}{\frac{1}{ln(n)}}dt

Puis
0\leq -\int_{1/n^2}^{1/n}{\frac{dt}{ln t}}\leq \frac{1}{n\ln n}-\frac{1}{n^2\ln n}\leq \frac{1}{n\ln n}
Ensuite j'ai mis les valeurs absolues.

Est-ce que je peux faire ça ?

Posté par
larrechre : Fonction et suite 26-07-19 à 17:54

Il vaut mieux partir de l'inégalité classique, g étant une fonction intégrable sur [a,b] :

0 \leq \left | \int_a^b g(t) dt\right | \leq  \int_a^b |g(t)| dt

Ici

0\leq\left|\int_\frac{1}{n^2}^{\frac{1}{n}}{\dfrac{dt}{\ln t}}\right|\leq \int_\frac{1}{n^2}^{\frac{1}{n}}{\dfrac{dt}{|\ln t[}}=-\int_\frac{1}{n^2}^{\frac{1}{n}}{\dfrac{dt}{\ln t}}\leq  \dfrac{1}{n\ln n}-\dfrac{1}{n^2\ln n}\leq \dfrac{1}{n\ln n}

puisque sur l'intervalle ln(t)<0

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 26-07-19 à 18:37

Et pour 3/a/
Comment faire pour
montrer
\int_{1/n^2}^{1/n}{-\frac{dt}{tlnt}}=ln2?

Posté par
larrechre : Fonction et suite 26-07-19 à 18:52

Chercher une primitive de \dfrac{1}{t ln(t)} . C'est une forme classique.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 27-07-19 à 11:54

Bon 3/a/ c'est fait.
Maintenant pour 3/b/ comment déterminer la limite de In à partir des précédentes questions?

Pour 4) a)
J'ai faitI-I_n=\int_{0}^{1}{f(t) dt}+\int_{1}^{1/n}{f(t)}dt=\int_{0}^{1/n}{f(t)}dt

Posté par
larrechre : Fonction et suite 27-07-19 à 12:29

3b/

\dfrac{t-1}{tln|t|}=\dfrac{1}{ln|t|}-\dfrac{1}{ t ln|t|} ce qui va donner deux intégrales, positives, que l'on sait majorer compte tenu de ce qui précède.

4a/ On a montré en première partie que sur ]0, 1[, 0 \leq f(t) \leq 1

Posté par
larrechre : Fonction et suite 27-07-19 à 13:47

Petit bémol

Citation :
ce qui va donner deux intégrales, positives, que l'on sait majorer compte tenu de ce qui précède.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 29-07-19 à 17:54

Ok

Posté par
larrechre : Fonction et suite 29-07-19 à 17:56

Oui, mais ce serait mieux d'écrire les choses même si c'est très évident.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 17-08-19 à 12:14

Salut, une question sur B)1)a) montrer que k est dérivable sur]0;1]
Je sais que la fonction f est continue en 1
Mais la fonction f est-elle dérivable sur]0;1]? Est-elle dérivable en 1?

Posté par
larrechre : Fonction et suite 17-08-19 à 18:33

f est dérivable au point x=1, oui, et la valeur de f' en ce point est 1/2, mais je ne sais pas si on peut le démontrer avec les outils de Terminale.

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 17-08-19 à 19:11

avec des epsilon je pense que oui ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 17-08-19 à 20:09

Oui vous avez raison merci !

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 28-08-19 à 20:47

Désolé d'encore poursuivre la discussion.
Pour 2/b/
\left | \int_a^b g(t) dt\right |[\tex] et \int_a^b |g(t)| dt\left | \int_a^b g(t) dt\right |\! et\! \int_a^b |g(t)| dt
n'est ce pas la même chose ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 28-08-19 à 20:48

Désolé, je réécris\left | \int_a^b g(t) dt\right |\! et\! \int_a^b |g(t)| dt
N'est ce pas la même chose ?

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 28-08-19 à 22:07

prends g(t) = t et a = -b = -1 ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 29-08-19 à 20:53

Ils donnent tous 0

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 29-08-19 à 20:57

ça m'étonnerait ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 29-08-19 à 21:23

\left| \int_{-1}^{1}{t}dt\right| =|\int_{-1}^{1} t dt|=|[ \frac{t²}{2}]_{-1}^1|=|0.5-0.5|=0

Et

\int_{-1}^1|t|dt=\int_{-1}^0(-t) dt+\int_{0}^1tdt=-0.5+0.5=0

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 29-08-19 à 21:48

la deuxième est faux ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 29-08-19 à 21:55

Pourquoi

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 29-08-19 à 23:02

parce qu'elle ne vaut pas 0 ...

l'intégrale d'une fonction positive et continue non identiquement nulle n'est pas nulle ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 30-08-19 à 13:59

Je ne comprends pas

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 30-08-19 à 19:27

trace les fonctions sur ta calculatrice ..

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 30-08-19 à 20:13

La fonction f(t)=t ou f(t)=|t|?

Posté par
larrechre : Fonction et suite 31-08-19 à 12:26

Les deux

carpediem @ 30-08-2019 à 19:27

trace les fonctions sur ta calculatrice ..

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 31-08-19 à 17:48

Voilà ce que j'ai trouvé

Fonction et suite

Posté par
larrechre : Fonction et suite 01-09-19 à 10:05

Oui. Je ne vais pas me lancer dans l'histoire des aires comptées positivement ou négativement. Revoir le cours.

En fait, tu fais une erreur de calcul:

\left[\dfrac{-t^2}{2}\right]_{-1}^0=(0)-(-1/2)=1/2

de sorte que \int_{-1}^1|t| dt=1

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 02-09-19 à 16:57

Mais n'intégre-t-on pas de -1 à 1 et non de0à 1?

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 02-09-19 à 17:06

as-tu lu attentivement ce que larrech a écrit ?

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 02-09-19 à 17:13

Ah oui, je vois où est l'erreur

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 02-09-19 à 17:56

D'où,\left | \int_a^b g(t) dt\right |\leq \int_a^b |g(t)| dt?

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 02-09-19 à 18:39

tout à fait ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 02-09-19 à 18:54

Mais on l'a prouvé pour g(t)=t. Mais pour n'importe quelle fonction ?

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 02-09-19 à 19:08

c'est toujours vrai et il n'y a égalité que si g garde un signe constant sur l'intervalle d'intégration ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction et suite 02-09-19 à 20:08

Bon, merci pour tout

Posté par
carpediemre : Fonction et suite 02-09-19 à 20:12

de rien

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