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fonction exp sujet 2 ex 4 A

Posté par
Nelcar 30-03-21 à 11:04

Bonjour,
voici l'exercice 4 (le A)

Le graphique ci-dessous, représente dans un repère orthogonal, les courbes Cf et Cg des fonctions f et g définies sur R par :
f(x)= x2e-x     et g(x)=e-x
la question 3 est indépendante des questions  1 et 2
1a) déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf et Cg
b) Etudier la position relative des courbes Cf et Cg
2) Pour tout nombre réel x de l'intervalle [-1;1], on considère les points M de coordonnées (x ; f(x) et N de coordonnées (x : g(x), et on note d(x) la distance MN. On admet que :
d(x)=e-x-x²e-x
On admet que la fonction d est dérivale sur l'intervalle  [-1;1] et on note d ' sa fonction dérivée
a) Montrer que d '(x)=e-x(x²-2x-1)
b) En déduire les variations de la fonction d sur l'intervalle  [-1;1]
c)  Déterminer l'abscisse commune xo des points Mo et No )
b) sur)permettant d'obtenir une distance d (xo) maximale, et donner une valeur approchée à 0,1 près de la distance MoNo
3) Soit la droite d'équation y=x+2
On considère la fonction h dérivable sur et définie par : h(x) = e-x-x-2
En étudiant le nombre de solutions de l'équation h(x)=0, déterminer le nombre de points d'intersection de la droite et de la courbe Cg

Voici ce que j'ai fait :
1a) Les points d'intersection de Cf et Cg sont :
(-1 ; 2,7183)  et (1 ; 0,36
sur [- ; -] Cf est au-dessus de Cg
sur [- ; ] Cf est au-dessous de Cg
sur [ ; ] Cf est au-dessus de Cg
a)
calcul de la dérivée
x²e-x =u*v    u(x)= x²  u'(x)= x   v(x)=e-x   v'(x)=-e-x
d' (x)= -e-x-2xe-x-x²(-e)x= e-x(-1-2x+x²)
b) variation
d(-1)=2e1
d(1)= 0
x     -1                                           0                    1
d'(x)          -                                                 +
d(x)  flèche descendante              0  flèche montante

c) je ne sais ce qu'il faut faire
3)j'ai calculé la dérivée de h(x) et j'ai trouvé h'(x)=-e-x-1
j'ai trouvé qu'un point d'intersection de et Cg qui est -2

MERCI pour votre aide

fonction exp sujet 2 ex 4 A

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 11:53

Bonjour Nelcar

Il faut toujours donner la valeur exacte avant

Points d'intersection \text{e}^{-x}= x^2  d'où x= 1 ou x=-1

(1, \text{e}^{-1}) ou (-1\text{e})

position relative étude du signe de x^2-1

Question 2

d'(x)=-\text{e}^{-x}-2x\text{e}^{-x}+x^2\text{e}^{-x}=(x^2-2x-1)\text{e}^{-x}

Étudions le sens de variation  pour ce faire étudions le signe de  x^2-2x-1

x^2-2x-1=(x-1)^2-2=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})

Sur l'intervalle [-1~;~1] d'(x) s'annule pour 1-\sqrt{2}

d'(x)>0 si x\in[-1~;~-1+\sqrt{2}[ et d'(x)<0 sur ]-1+\sqrt{2}~;~1]

D'où le tableau fonction exp sujet 2 ex 4 A


  La fonction d admet un maximum pour x=1-\sqrt{2}  L'abscisse commune est 1-\sqrt{2}

d(1-\sqrt{2})=\left(1-\sqrt{2}\right)^2\times \text{e}^{\sqrt{2}-1}

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 12:04

3)  h(x)=\text{e}^{-x}-x-2

h'(x)=-\left( \text{e}^{-x}+1\right)

Par conséquent, h'(x)<0 pour tout  x. La fonction h est donc décroissante sur \R

h(-1)=\text{e}+1-2 >0 $ et  $  h(0)=-2 En application du TVI  il existe un unique \alpha \in[-1~;~0] tel que h(\alpha)=0

L'équation h(x)=0 n'ayant qu'une unique solution, la courbe  \mathcal{C}_g  et \Delta n'auront qu'un point commun

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 12:10

Vous aviez un  trinôme du second degré  Il fallait étudier son signe et ne pas prendre quelques valeurs au hasard  pour affirmer le sens de variation

Comment avez-vous fait pour trouver -2 (question 3) ?

Posté par
Nelcarre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 19:57

hekla :
Comment trouves tu point d'intersection e  puissance -x  (je ne sais pas pourquoi mais je n'ai plus rien en-dessous pour mettre les exposants etc....)
j'ai pensé à faire f(x) - g(x) = x²
sur le graphique on voit bien x= -1  et x=1
je ne sais pas comment tu fais pour avoir (1;e puissance -x)  ou (-1e)

je ne comprend pas pourquoi tu mets : position relative étude du signe de x²-1   (d'où vient ceci ?)

pour la question 2 b je n'aurai jamais trouvé la mise en facteur comme tu as fait
pour d'(x) s'annule pour 1- racine de 2   idem comment fais-tu ?

je ne comprend pas non plus la question 2 c)  merci de m'expliquer


j'avais trouvé -2 sur ma calculatrice en ayant mis la fonction et la droite

MERCI

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 20:51

Il fut un moment où tout avait disparu  plus de répondre  plus de symboles  ne restaient que les couleurs.

J'ai mal relu  point d'intersection    on écrit l'égalité des y soit     \text{e}^{-x}=x^2\text{e}^{-x}

En regroupant  dans le second membre \text{e}^{-x}(x^2-1)=0

Comme l'exponentielle est non nulle, reste x^2-1=0 soit x=1 ou x=-1

Pour avoir la valeur de y autant prendre \text{e}^{-x}

si x=-1 alors y=\text{e}^{-(-1)}=\text{e}

si x=1 alors y=\text{e}^{-1}=  Coordonnées des points d'intersection (-1~;~\text{e})\quad(1~;~\text{e}^{-1})

Position relative,  c'est dire quand l'une est au-dessus de l'autre  ou  en prenant les notations du texte M\in\mathcal{C}_g quand [tex ]y_N <y_M [/tex] Cela revient à \text{e}^{-x}(x^2-1) <0

\text{e}^{-x}>0 pour tout x donc signe de x^2-1  trinôme du second degré signe de a à l'extérieur des racines

donc entre -1 et 1 y_N <y_M la courbe représentative de f est au-dessous de celle de g

Remarque l'autre choix aurait pu être fait

Question 2b  soit \Delta et la suite  soit la forme canonique   J'ai trouvé qu'en la prenant cela allait plus vite.

Si on prend la forme lourde \Delta= 4+4=8 d'où x_1=\dfrac{ 2-\sqrt{8}}{2}= 1-\sqrt{2}et donc x_2= 1+\sqrt{2}

fonction exp sujet 2 ex 4 A

On ne garde évidemment que la partie entre  -1 et 1

c) d est la distance entre le point M et  le point N autrement dit, d=y_M-y_N  Si l'on veut une distance maximale il faut donc prendre le maximum de d

Le tableau de variation montre que ce maximum est atteint pour x=1-\sqrt{2}

Rappel les extrema sont à rechercher parmi les points où la dérivée est nulle.

\alpha \approx -0,4429

-2 ce n'est pas possible  Tracez la droite et lisez l'abscisse du point d'intersection on est bien loin de -2

Posté par
Nelcarre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 10:18

bonjour,
hekla pour la question 1 b

Remarque l'autre choix aurait pu être fait si tu peux me mettre que j'essaye de comprendre. (M appartient à la courbe Cf et non Cg) MERCI

question 2b c'est noté dans l'intervalle -1 et 1 donc ce n'est pas la peine de mettre dans le tableau 1+racine de 2 (au fait ce que tu avais mis avant du 30 à 11 h 53 c'est faux donc. MERCI

j'ai mieux compris en prenant delta et x1 et  x2 je n'avais pas pensé à le faire car j'avais devant e puissance -x

je ne suis pas arrivée à retrouvé -0,4429   Comment as-tu fait ?

Un grand MERCI

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 11:10

Le point « M »  appartient à la courbe dessinée en rouge donc à   \mathcal{C}_g et N  à \mathcal{C}_f

Pour étudier la position relative des deux courbes on va étudier pour une même abscisse, le signe de la différence entre les ordonnées des points M et N.

On peut donc étudier le signe de y_M-yN ou celui de y_N-y_M  Le choix se faisant surtout sur la simplicité

Je vais donc choisir y_N-y_M   soit x^2\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}= \text{e}^{-x}(x^2-1)

\text{\footnotesize Il est peut-être plus simple d'étudier le signe de } x^2-1 \ \text{que celui  de }1-x^2}

\text{e}^{-x}>0 pour tout x\in \R, le signe de y_N-y_M est donc celui de   x^2-1

fonction exp sujet 2 ex 4 A
Toutes les lignes n'ont pas besoin d'être écrite si vous prenez soin de dire qu'un trinôme est du signe du coefficient de \\ x^2  pour les valeurs extérieures aux racines (quand elles existent.)

Sur ]-\infty~;~-1[  $ ou sur  $ \ ]1~;~+\infty[ \  y_N-y_M>0 par conséquent, pour une même abscisse,   l'ordonnée d'un point de \mathcal{C}_f est supérieure à l'ordonnée d'un point de \mathcal{C}_g.  Il en résulte que sur ces deux intervalles la courbe représentative de f est au-dessus de la courbe représentative de g

Sur ]-1~;~1[ ,\  y_N-y_M <0 par conséquent, pour une même abscisse,   l'ordonnée d'un point de \mathcal{C}_f est inférieure à l'ordonnée d'un point de \mathcal{C}_g.  Il en résulte que sur cet intervalle la courbe représentative de f est en
dessous de la courbe représentative de g

Le 30  11 : 53 j'avais coupé   à 1 ce que je n'ai pas fait, mais dit  plus tard  pour bien montrer que 1+\sqrt{2}était supérieur à 1.

  La valeur est obtenue par la calculatrice
fonction exp sujet 2 ex 4 A


On peut voir que pour -0,45 l'image est positive et pour -0,44 l'image est négative  
par conséquent \alpha est entre les deux

Posté par
Nelcarre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 13:05

ok
je regarderai ça tout à l'heure car là pas possible
A tout à l'heure

MERCI

Posté par
Nelcarre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 20:59

je viens de regarder

mais pour moi pas évident, j'ai vraiment du mal avec les fonctions (les limites et les tableaux de signes et de variations)

MERCI BEAUCOUP

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 21:04

Y a-t-il des questions ?

Ce n'est pas facile vu l'année précédente,  c'est durant cette année que l'on en fait un tas qu'on finit par faire les yeux fermés  

Posté par
Nelcarre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 21:17

je vais le prendre à tête reposée

MERCI encore (bonne soirée)

Posté par
napolepetitre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 28-12-21 à 09:57

Bonjour,
Est-ce que vous avez pu repondre a la question?Et est-ce que vous savez si cette exercice s'appartient a quel bac?

Merci beaucoup

Posté par
lucileblbre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-12-22 à 12:29

Bonjour, j'arrive longtemps après mais j'ai un dm et il y a cet exercice avec quelques changements comment repondre à la questio 1)a) je n'ai pas compris comment le resultat a été trouvé . Merci

Posté par
malou Webmasterre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-12-22 à 12:33

Bonjour lucileblb

modifie ton profil, tu n'es plus en seconde

pour l'intersection de deux courbes, regarde cette fiche : Etude de la position relative de deux courbes

Posté par
lucileblbLimites de fonctions et fonction exponentielles 31-12-22 à 12:45

Bonjour, dans mon dm que je dois rendre******, il y a cet exercice ça faite 2 heures que je suis dessus et j'ai pas avancée d'une seule question je suis tjrs à la première... Aidez moi à le faire s'il vous plait
J'ai vu qu'il y avait à peu près cet exercice dans un forum déja mais je n'ai rien compris...
Merci aux personnes qui voudront bien m'aider en ce 31 décembre



On considère les fonctions f et g définies sur R par:
f(x)= x2e-x     et g(x)=e-x
Dans un repère orthonormé du plan, on note Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g.
1a) déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf et Cg
b) Etudier la position relative des courbes Cf et Cg
2) Pour tout nombre réel x de l'intervalle [-1;1], on note:
M de coordonnées (x ; f(x))
N de coordonnées (x : g(x))
on note d(x) la distance MN.
a) Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle [-1;1]:
d(x)=e-x-x²e-x
b) On note d' la fonction dérivée de la fonction d sur l'intervalle [-1;1]. Montrer que d '(x)=(x²-2x-1)e-x
c) Etudier les variations de la fonction d sur l'intervalle  [-1;1] puis dresser son tableau de variation
d)  Déterminer l'abscisse commune xo des points Mo et No permettant d'obtenir une distance d (xo) maximale, et donner une valeur approchée à 0,1 près de la distance Mo No
3) On considère la droite d4equation y=-x-3
Montrer qu'il existe un unique point de la courbe Cg pour lequel la tangente est parallèle à la droite puis donner l'equation réduite de la tangente.

*** message déplacé ***

*modération > pour la gestion du temps, cela dépendra essentiellement de ton investissement sur le sujet*

Posté par
malou Webmasterre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-12-22 à 12:53

lucileblb, je t'avais répondu
tu as déjà toutes les démarches ici
poster à nouveau le sujet relève du multipost et c'est interdit

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



donc tu vas travailler ici

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-12-22 à 13:58

Bonjour

Pour avoir une idée, vous pouvez lire les coordonnées sur le graphique.

Par le calcul, le point d'intersection appartient aux deux courbes, on a donc pour l'une (x~,~f(x)) pour l'autre (x ~;~g(x))

par conséquent, au point d'intersection, on a f(x)=g(x) équation que l'on résout.

Posté par
lucileblbre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 02-01-23 à 07:51

malou @ 31-12-2022 à 12:53

lucileblb, je t'avais répondu
tu as déjà toutes les démarches ici
poster à nouveau le sujet relève du multipost et c'est interdit
[faq]multi[/faq]

donc tu vas travailler ici


Bonjour, désolé pour le multipost mais mon sujet n'est pas le même à la dernière question et je n'ai pas de graphiques, c'est pour ça que j'ai reposter mais désolé.

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 02-01-23 à 09:41

Bonjour

Pour les graphiques, ce n'est pas grave puisqu'avec les expressions des fonctions, vous pouvez tracer les courbes.

Avant de passer à la dernière question, y a-t-il des interrogations sur les deux premières ou voulez-vous quelques renseignements complémentaires ? Lesquels ?

Posté par
lucileblbre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 03-01-23 à 17:11

hekla @ 02-01-2023 à 09:41

Bonjour

Pour les graphiques, ce n'est pas grave puisqu'avec les expressions des fonctions, vous pouvez tracer les courbes.

Avant de passer à la dernière question, y a-t-il des interrogations sur les deux premières ou voulez-vous quelques renseignements complémentaires ? Lesquels ?

J'ai compris qu'il fallait faire f(x) = g(x) et tout
mais quand lNelcar dit 1a) Les points d'intersection de Cf et Cg sont : (-1 ; 2,7183)  et (1 ; 0,36)
je n'arrive pas à trouver ces résultats, je vais pas vous mentir ne pas trouver commence à me rendre folle

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 03-01-23 à 18:00

Le fil a été un peu bizarrement rédigé

Vous  trouverez la question 1 a) coordonnées des points d'intersection,  

au 30 03  21 à 20 : 51

les abscisses des points sont 1 et -1  par conséquent les ordonnées sont \text{e}^{-(1)}=\text{e}^{-1}\approx 0,3678 et \text{e}^{-(-1)}=\text{e}\approx 2,71828

S'il y a des questions, posez-les.

Posté par
lucileblbre : fonction exp sujet 2 ex 4 A 04-01-23 à 22:45

hekla @ 03-01-2023 à 18:00

Le fil a été un peu bizarrement rédigé

Vous  trouverez la question 1 a) coordonnées des points d'intersection,  

au 30 03  21 à 20 : 51

les abscisses des points sont 1 et -1  par conséquent les ordonnées sont \text{e}^{-(1)}=\text{e}^{-1}\approx 0,3678 et \text{e}^{-(-1)}=\text{e}\approx 2,71828

S'il y a des questions, posez-les.

D'accord merci j'ai compris maintenant, je n'ai pas de question, a part ma question 3 qui est un grand mystère

Posté par
heklare : fonction exp sujet 2 ex 4 A 05-01-23 à 00:17

À quelle condition deux droites sont-elles parallèles ?
Coefficient directeur de la tangente en a à la courbe ?
Coefficient directeur de la droite \Delta ?

On écrit la condition et on résout

Ne citez pas, cela occupe de l'espace pour rien. Le texte est juste au-dessus.


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