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fonction exp sujet 2 ex 4 A

Posté par
Nelcar
30-03-21 à 11:04

Bonjour,
voici l'exercice 4 (le A)

Le graphique ci-dessous, représente dans un repère orthogonal, les courbes Cf et Cg des fonctions f et g définies sur R par :
f(x)= x2e-x     et g(x)=e-x
la question 3 est indépendante des questions  1 et 2
1a) déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf et Cg
b) Etudier la position relative des courbes Cf et Cg
2) Pour tout nombre réel x de l'intervalle [-1;1], on considère les points M de coordonnées (x ; f(x) et N de coordonnées (x : g(x), et on note d(x) la distance MN. On admet que :
d(x)=e-x-x²e-x
On admet que la fonction d est dérivale sur l'intervalle  [-1;1] et on note d ' sa fonction dérivée
a) Montrer que d '(x)=e-x(x²-2x-1)
b) En déduire les variations de la fonction d sur l'intervalle  [-1;1]
c)  Déterminer l'abscisse commune xo des points Mo et No )
b) sur)permettant d'obtenir une distance d (xo) maximale, et donner une valeur approchée à 0,1 près de la distance MoNo
3) Soit la droite d'équation y=x+2
On considère la fonction h dérivable sur et définie par : h(x) = e-x-x-2
En étudiant le nombre de solutions de l'équation h(x)=0, déterminer le nombre de points d'intersection de la droite et de la courbe Cg

Voici ce que j'ai fait :
1a) Les points d'intersection de Cf et Cg sont :
(-1 ; 2,7183)  et (1 ; 0,36
sur [- ; -] Cf est au-dessus de Cg
sur [- ; ] Cf est au-dessous de Cg
sur [ ; ] Cf est au-dessus de Cg
a)
calcul de la dérivée
x²e-x =u*v    u(x)= x²  u'(x)= x   v(x)=e-x   v'(x)=-e-x
d' (x)= -e-x-2xe-x-x²(-e)x= e-x(-1-2x+x²)
b) variation
d(-1)=2e1
d(1)= 0
x     -1                                           0                    1
d'(x)          -                                                 +
d(x)  flèche descendante              0  flèche montante

c) je ne sais ce qu'il faut faire
3)j'ai calculé la dérivée de h(x) et j'ai trouvé h'(x)=-e-x-1
j'ai trouvé qu'un point d'intersection de et Cg qui est -2

MERCI pour votre aide

fonction exp sujet 2 ex 4 A

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 11:53

Bonjour Nelcar

Il faut toujours donner la valeur exacte avant

Points d'intersection \text{e}^{-x}= x^2  d'où x= 1 ou x=-1

(1, \text{e}^{-1}) ou (-1\text{e})

position relative étude du signe de x^2-1

Question 2

d'(x)=-\text{e}^{-x}-2x\text{e}^{-x}+x^2\text{e}^{-x}=(x^2-2x-1)\text{e}^{-x}

Étudions le sens de variation  pour ce faire étudions le signe de  x^2-2x-1

x^2-2x-1=(x-1)^2-2=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})

Sur l'intervalle [-1~;~1] d'(x) s'annule pour 1-\sqrt{2}

d'(x)>0 si x\in[-1~;~-1+\sqrt{2}[ et d'(x)<0 sur ]-1+\sqrt{2}~;~1]

D'où le tableau fonction exp sujet 2 ex 4 A


  La fonction d admet un maximum pour x=1-\sqrt{2}  L'abscisse commune est 1-\sqrt{2}

d(1-\sqrt{2})=\left(1-\sqrt{2}\right)^2\times \text{e}^{\sqrt{2}-1}

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 12:04

3)  h(x)=\text{e}^{-x}-x-2

 h'(x)=-\left( \text{e}^{-x}+1\right)

Par conséquent, h'(x)<0 pour tout  x. La fonction h est donc décroissante sur  \R

h(-1)=\text{e}+1-2 >0 $ et  $  h(0)=-2 En application du TVI  il existe un unique \alpha \in[-1~;~0] tel que  h(\alpha)=0

L'équation h(x)=0 n'ayant qu'une unique solution, la courbe  \mathcal{C}_g  et \Delta n'auront qu'un point commun

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 12:10

Vous aviez un  trinôme du second degré  Il fallait étudier son signe et ne pas prendre quelques valeurs au hasard  pour affirmer le sens de variation

Comment avez-vous fait pour trouver -2 (question 3) ?

Posté par
Nelcar
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 19:57

hekla :
Comment trouves tu point d'intersection e  puissance -x  (je ne sais pas pourquoi mais je n'ai plus rien en-dessous pour mettre les exposants etc....)
j'ai pensé à faire f(x) - g(x) = x²
sur le graphique on voit bien x= -1  et x=1
je ne sais pas comment tu fais pour avoir (1;e puissance -x)  ou (-1e)

je ne comprend pas pourquoi tu mets : position relative étude du signe de x²-1   (d'où vient ceci ?)

pour la question 2 b je n'aurai jamais trouvé la mise en facteur comme tu as fait
pour d'(x) s'annule pour 1- racine de 2   idem comment fais-tu ?

je ne comprend pas non plus la question 2 c)  merci de m'expliquer


j'avais trouvé -2 sur ma calculatrice en ayant mis la fonction et la droite

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 30-03-21 à 20:51

Il fut un moment où tout avait disparu  plus de répondre  plus de symboles  ne restaient que les couleurs.

J'ai mal relu  point d'intersection    on écrit l'égalité des y soit     \text{e}^{-x}=x^2\text{e}^{-x}

En regroupant  dans le second membre \text{e}^{-x}(x^2-1)=0

Comme l'exponentielle est non nulle, reste x^2-1=0 soit  x=1 ou x=-1

Pour avoir la valeur de y autant prendre  \text{e}^{-x}

si  x=-1 alors  y=\text{e}^{-(-1)}=\text{e}

si  x=1 alors  y=\text{e}^{-1}=  Coordonnées des points d'intersection  (-1~;~\text{e})\quad(1~;~\text{e}^{-1})

Position relative,  c'est dire quand l'une est au-dessus de l'autre  ou  en prenant les notations du texte M\in\mathcal{C}_g quand [tex ]y_N <y_M [/tex] Cela revient à  \text{e}^{-x}(x^2-1) <0

\text{e}^{-x}>0 pour tout x donc signe de x^2-1  trinôme du second degré signe de a à l'extérieur des racines

donc entre -1 et 1 y_N <y_M la courbe représentative de f est au-dessous de celle de g

Remarque l'autre choix aurait pu être fait

Question 2b  soit \Delta et la suite  soit la forme canonique   J'ai trouvé qu'en la prenant cela allait plus vite.

Si on prend la forme lourde \Delta= 4+4=8 d'où x_1=\dfrac{ 2-\sqrt{8}}{2}= 1-\sqrt{2}et donc x_2= 1+\sqrt{2}

fonction exp sujet 2 ex 4 A

On ne garde évidemment que la partie entre  -1 et 1

c) d est la distance entre le point M et  le point N autrement dit, d=y_M-y_N  Si l'on veut une distance maximale il faut donc prendre le maximum de d

Le tableau de variation montre que ce maximum est atteint pour x=1-\sqrt{2}

Rappel les extrema sont à rechercher parmi les points où la dérivée est nulle.

\alpha \approx -0,4429

-2 ce n'est pas possible  Tracez la droite et lisez l'abscisse du point d'intersection on est bien loin de -2

Posté par
Nelcar
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 10:18

bonjour,
hekla pour la question 1 b

Remarque l'autre choix aurait pu être fait si tu peux me mettre que j'essaye de comprendre. (M appartient à la courbe Cf et non Cg) MERCI

question 2b c'est noté dans l'intervalle -1 et 1 donc ce n'est pas la peine de mettre dans le tableau 1+racine de 2 (au fait ce que tu avais mis avant du 30 à 11 h 53 c'est faux donc. MERCI

j'ai mieux compris en prenant delta et x1 et  x2 je n'avais pas pensé à le faire car j'avais devant e puissance -x

je ne suis pas arrivée à retrouvé -0,4429   Comment as-tu fait ?

Un grand MERCI

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 11:10

Le point « M »  appartient à la courbe dessinée en rouge donc à   \mathcal{C}_g et N  à  \mathcal{C}_f

Pour étudier la position relative des deux courbes on va étudier pour une même abscisse, le signe de la différence entre les ordonnées des points M et N.

On peut donc étudier le signe de y_M-yN ou celui de y_N-y_M  Le choix se faisant surtout sur la simplicité

Je vais donc choisir y_N-y_M   soit x^2\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}= \text{e}^{-x}(x^2-1)

\text{\footnotesize Il est peut-être plus simple d'étudier le signe de } x^2-1 \ \text{que celui  de }1-x^2}

\text{e}^{-x}>0 pour tout x\in \R, le signe de y_N-y_M est donc celui de   x^2-1

fonction exp sujet 2 ex 4 A
Toutes les lignes n'ont pas besoin d'être écrite si vous prenez soin de dire qu'un trinôme est du signe du coefficient de 
 \\ x^2  pour les valeurs extérieures aux racines (quand elles existent.)

Sur ]-\infty~;~-1[  $ ou sur  $ \ ]1~;~+\infty[ \  y_N-y_M>0 par conséquent, pour une même abscisse,   l'ordonnée d'un point de \mathcal{C}_f est supérieure à l'ordonnée d'un point de \mathcal{C}_g.  Il en résulte que sur ces deux intervalles la courbe représentative de f est au-dessus de la courbe représentative de g

Sur ]-1~;~1[ ,\  y_N-y_M <0 par conséquent, pour une même abscisse,   l'ordonnée d'un point de \mathcal{C}_f est inférieure à l'ordonnée d'un point de \mathcal{C}_g.  Il en résulte que sur cet intervalle la courbe représentative de f est en
dessous de la courbe représentative de g

Le 30  11 : 53 j'avais coupé   à 1 ce que je n'ai pas fait, mais dit  plus tard  pour bien montrer que 1+\sqrt{2}était supérieur à 1.

  La valeur est obtenue par la calculatrice
fonction exp sujet 2 ex 4 A


On peut voir que pour -0,45 l'image est positive et pour -0,44 l'image est négative  
par conséquent \alpha est entre les deux

Posté par
Nelcar
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 13:05

ok
je regarderai ça tout à l'heure car là pas possible
A tout à l'heure

MERCI

Posté par
Nelcar
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 20:59

je viens de regarder

mais pour moi pas évident, j'ai vraiment du mal avec les fonctions (les limites et les tableaux de signes et de variations)

MERCI BEAUCOUP

Posté par
hekla
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 21:04

Y a-t-il des questions ?

Ce n'est pas facile vu l'année précédente,  c'est durant cette année que l'on en fait un tas qu'on finit par faire les yeux fermés  

Posté par
Nelcar
re : fonction exp sujet 2 ex 4 A 31-03-21 à 21:17

je vais le prendre à tête reposée

MERCI encore (bonne soirée)



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