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Niveau terminale
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fonction exponentielle

Posté par Profil moussolony 09-02-20 à 13:01

Bonjour
Calculer la limite en + infini et en - infini

f(x)=\frac{XlnX}{e^{x}-1}
En + infini
Lim XlnX=+ infini et lim (1/e^x-1)=0

Donc on a une forme + infini *0
Que est ce que je dois faire dans ce cas

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 13:09

Bonjour,
en - impossible, le ln x n'est pas défini pour les x négatifs.
en + il te suffit de mettre e^x en facteur et de savoir que la limite de e^x/x est l'infini pour lever l'indétermination.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 09-02-20 à 13:19

f(x)=(xlnx)/e^x(1-1/e^x)
f(x)=x/e^x*lnx*1/1-1/e^x

Lim x/e^x=+ infini, lim lnx=+ infini, et lim 1/1-1/e^x=1

Lim f(x)=+ infini

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 14:31

Citation :
Lim x/e^x=+ infini

non c'est l'inverse, c'est Lim e^x/x =+ infini

Rappelle toi que l'exponentielle gagne sur les polynômes.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 09-02-20 à 16:37

Si je comprends très bien on aura donc
x/e^x=1/e^x/x

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 16:49

si e^x/x tend vers l'infini, son inverse tend vers 0

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 09-02-20 à 17:22

Ben,
En + infini
Lim xlnx=+ infini
Lim (1/e^x(1-1/e^x)=0
On a une forme + infini *0

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:23

Qu est ce que je dois maintenant

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:30

oui tu as raison, c'est un peu plus compliqué parce que le ln x est gênant.

il faut utiliser une astuce et dire que ln x < x (facile à démontrer) et majorer l'expression avec quelque chose qui tend vers 0.

Posté par
FerreSucre
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:41

Sinon y'a l'hôpital rules :

lim...  (\dfrac{xlnx}{e^x-1}) = lim... (\dfrac{1+lnx}{e^x})

Qui est encore indéterminé :

= lim.. (\dfrac{\dfrac{1}{x}}{e^x})

Soit = 0

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:41

La démonstration de
Lnx<x
Je ne sais pas quelle méthode utilisée

Posté par
FerreSucre
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:42

On dérive en haut et en dessous quand on est de la forme ∞/∞
normalement j'ai pas fait d'erreur

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:45

la fonction x-ln x a pour dérivée 1-1/x, cette dérivée s'annule pour x=1 elle est négative avant 1 et positive après. le minimum de la fonction est donc pour x=1 et vaut 1
on a donc toujours x - ln x 1 donc ln x x-1 x

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:45

Bonsoir ferrure sucre ,comme vous avez trouvé ceux ci
Lim (1+lnx/e^x)

Posté par
malou Webmaster
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:46

PARENTHESES !

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:50

il utilise une règle (qui n'est pas au programme) qui dit que si f(x) et g(x) tend vers 0 alors f(x)/g(x) a la même limite que f'(x)/g'(x)
et donc il a dérivé le numérateur et le dénominateur pour trouver que la limite est aussi celle de (1+ ln x) / e^x.

je ne te recommande pas cette méthode, les profs n'aiment pas du tout qu'on l'emploie en Terminale.

Et puis d'ailleurs ici, f(x) et g(x) ne tendent pas vers 0 donc on a pas le droit d'employer cette méthode.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:56

Quelle méthode utilisée maintenant

Posté par
FerreSucre
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:56

Ah je me disais bien j'avais un doute

Posté par
FerreSucre
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 18:59

Si j'ai bon en fait c'est soit les deux numérateur et dénominateur tendent vers 0 ou les deux tendent vers +inf.

Posté par
malou Webmaster
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 19:01

FerreSucre, je te demande de ne pas intervenir niveau lycée, pour y mettre des démonstrations hors programme...

Posté par
FerreSucre
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 19:03

Ok malou, c'est quand même pratique comme technique x)

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 09-02-20 à 19:12

On a démontre que
Lnx<x
xlnx<x^2
(xlnx)/(e^x-1)<(x^2)/e^x-1)
En + infini

Lim (x^2)/(e^x-1)=0

Finalement
lim xlnx/(e^x-1)=0

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 22:43

oui c'est ça.

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonction exponentielle 09-02-20 à 22:47

Citation :
Si j'ai bon en fait c'est soit les deux numérateur et dénominateur tendent vers 0 ou les deux tendent vers +infini

FerreSucre en fait oui, la Règle de l'Hospital marche aussi dans la configuration / donc ta démo était valable.

Posté par
FerreSucre
re : fonction exponentielle 10-02-20 à 11:41

Elle est quand même super pratique cette technique je comprends pas pourquoi on ne l'enseigne pas en terminale... elle est pas si compliqué si on sait dérivée.

Posté par
malou Webmaster
re : fonction exponentielle 10-02-20 à 11:43

tu vas nous répéter ça tous les 3 messages ?

Posté par
carpediem
re : fonction exponentielle 10-02-20 à 13:54

salut

j'aurais écrit  \dfrac {x \ln x} {e^x - 1} = \dfrac {x \ln x} {e^x} \times \dfrac 1 {1 - e^{-x}}

le deuxième quotient tend vers 1
le premier quotient tend vers 0 (par croissance comparée)

Posté par
Glapion Moderateur
re : fonction exponentielle 10-02-20 à 19:11

Sauf que ça n'est pas habituellement dans les registres de croissance comparée, c'est pourquoi dans les posts précédents on a majoré ln x par x pour se ramener à une forme classique de comparaison de fonctions.

Posté par
carpediem
re : fonction exponentielle 10-02-20 à 20:27

ouais enfin là tu chipotes ...

il est classique que ln x / x --> 0 en +oo (croissance comparée) donc ln x < x (au moins à partir d'un certain rang) donc x ln x < x^2 puis croissance comparées x^n/exp (x) ...

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 11-02-20 à 08:49

Bonjour carpediem.
La première limité,pourquoi x tends vers 0

Posté par
malou Webmaster
re : fonction exponentielle 11-02-20 à 08:50

n'importe quel cours sur les log comporte ce résultat

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 11-02-20 à 08:56

Je ne comprends pas toujours
En + infini
Lim xlnx=+ infini
Lim e^x=+ infini
Donc on a une forme indéterminée

Posté par
carpediem
re : fonction exponentielle 11-02-20 à 09:01

carpediem @ 10-02-2020 à 13:54

salut

j'aurais écrit  \dfrac {x \ln x} {e^x - 1} = \dfrac {x \ln x} {e^x} \times \dfrac 1 {1 - e^{-x}}

le deuxième quotient tend vers 1
le premier quotient tend vers 0 (par croissance comparée)

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 11-02-20 à 09:12

Bonjour carpedienn..
J ai compris maintenant

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 11-02-20 à 11:01

Merci infiniment

Posté par
carpediem
re : fonction exponentielle 11-02-20 à 18:59

de rien



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