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Fonction exponentielle.

Posté par
matheux14
08-03-21 à 14:57

Bonjour

Merci d'avance.

Le plan est muni d'un repère orthonormé ( O , I , J).
Pour tout entier naturel n , on considère la fonction f_{n} définie sur \R par :

\large{f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{n~x}(1+e^{x})}}

On désigne par (C_{n}) la courbe représentative de f_{n} dans le repère (O , I , J).

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse seulement aux fonctions f_{0} et f_{1} correspondant respectivement à n=0 et n = 1.

On considère d'abord la fonction f_{0} définie
sur \R par f_{0}(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}

1-a) Déterminer la limite de f_{0}(x) quand x
tend vers -∞.

b) Determiner la limite de f_{0}(x) quand x tend vers +∞.

c) En déduire les asymptotes de (C_{0}).

2. Montrer que le point K(0 ;\dfrac{1}{2}) est un centre
de symétrie de (C_{0})

3. Dresser le tableau de variation de f_{0}.

4-a) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C_{0}) au point K.

b) Justifier que, pour étudier la position de la tangente (T) par rapport à la courbe (C_{0}), il suffit d'étudier sur \R le signe de g(x), où \large{g(x) = 2e^{x}- x e^{x}-2-x}.

c) Calculer g'(x) et g''(x).

d) Déterminer, en les justifiant, les signes de g'(x), g''(x) et g(x) suivant les valeurs de x.

e) En déduire la position de la tangente (T) par rapport à la courbe (C_{0}).

5) Tracer (C_{0}) et (T).

6-a) Démontrer que les courbes (C_{0}) et (C_{1}) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=\dfrac{1}{2}.

b) Tracer (C) dans le même repère que (C_{1}) , (C_{0}).

Partie B

1. Pour n\ge 2 ,

Calculer \lim_{x\to-\infty}f_{n}(x) et \lim_{x\to+\infty}f_{n}(x) puis donner une interprétation graphique des resultats.

2. Pour n \ge 2 ,

a) Démontrer que: pour tout nombre réel x : \large{f'_{n}(x)=\dfrac{1-n-n~e^{x}}{e^{(n-1)x}(1+e^{x})²}}.

b) Dresser le tableau de variation de f_{n}.

3. Pour n\ge 0, étudier la position relative des courbes (C_{n}) et (C_{n+1}).

4. Démontrer que toutes les courbes (C_{n}) passent un point fixe dont on précisera les coordonnées.

5. Tracer (C2) dans le même repère que (C1).


Réponses

PARTIE A

f_{0}(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}  et f_{n}(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{nx}(1+e^{x})}

1-a) \lim_{x\to-\infty} f_{0}(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}

\forall x\in \R , \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}=\dfrac{e^{x}}{e^{x}\left(\dfrac{1}{e^{x}}+1\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{e^{x}}+1}

Donc \lim_{x\to-\infty}f_{0}(x)=\lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{e^{-x}+1}

\begin{cases} \lim_{x\to-\infty}1=1 \\ \lim_{x\to-\infty}e^{-x}+1 ~  \begin{cases} \text{Posons } ~ X=-x \\ \text{lorsque}~ -x\to-\infty ~ , ~ X\to+\infty \end{cases} \\
 \\ \lim_{x\to-\infty} e^{-x}+1=\lim_{X\to+\infty}e^{X}+1=+\infty+1=+\infty\end{cases}

Donc \lim_{X\to+\infty}\dfrac{1}{e^{X}}=0

D'où \lim_{x\to-\infty}f_{0}(x)=0

1-b) f_{0}(x)=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{e^{x}}}

\begin{cases} \lim_{x\to+\infty}1=1 \\ \lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty\Rightarrow \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}}=0\end{cases}

D'où \lim_{x\to+\infty}1+\dfrac{1}{e^{x}}=1+0=1

Donc \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{e^{x}}}=1

1-c) La droite d'équation y=1 est asymptote horizontale à (C_{0}) en +∞ et y=0 est asymptote à (C_{0}) en -∞.

2) K(0 ;\dfrac{1}{2}) , f_{0}(0)=\dfrac{e^{0}}{e^{0}+1}=\dfrac{1}{2}

Donc K est centre de symétrie de (C_{0}).

3) \forall x\in \R , f(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1} , f est dérivable sur \R ,

f'_{0}(x)=\left(\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}\right)'=\dfrac{(e^{x})'(e^{x}+1)-e^{x}(e^{x}+1)'}{(e^{x}+1)²}

=\dfrac{e^{x}(e^{x}+1)-e^{x}×e^{x}}{(e^{x}+1)²}

=\dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)²}

\forall x\in \R , (e^{x}+1)²>0 donc le signe de f'_{0}(x) et le tableau de variation de f_{0} sont ceux de la fonction e^{x}.

Fonction exponentielle.

4-a) Je ne vois pas comment faire.

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 15:07

Oups c'est plutôt la question 4-b) que je n'arrive pas à faire.

4-a) (T): y=f'_{0}(0)(x-0)+f_{0}(0)

y: \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 15:14

Bonjour
que vaut 0/1 ?
revoir 1-a

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 15:40

0/1=0

Mais je ne vois pas l'erreur.

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 16:09

je ne dis pas qu'il y a une erreur
mais tout ce que tu as fait est inutile
cette limite se fait en 1 ligne (le jour d'un examen, tu n'as pas intérêt à perdre du temps ainsi)

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 16:48

Ok

1-a) \lim_{x\to-\infty} f_{0}(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0

\lim_{x\to-\infty}1=1

Donc \lim_{x\to-\infty} f_{0}(x)=\dfrac{0}{0+1}=0

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 16:55

ben oui...il ne faut pas se lancer tête baissée dans une levée d'indétermination sans savoir s'il y en a une ou pas, et là il n'y en avait pas

pour la limite en + l'infini (qui elle est indéterminée)
tu peux faire comme tu as fait ou bien, qui est très efficace aussi,

f_{0}(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}=\dfrac{e^{-x}\times e^{x}}{e^{-x}\times (1+e^{x})}=\dots

et là une fois bien écrit, tu cherches la limite

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 17:01

Ok f_{0}(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}=\dfrac{e^{-x}\times e^{x}}{e^{-x}\times (1+e^{x})}=\dfrac{1}{e^{-x}+1}

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 17:03

et ensuite tu cherches la limite en + l'infini de cette expression, vas-y

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 17:12

\lim_{x\to+\infty}f_{0}(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{-x}+1}

*\lim_{x\to+\infty}1=1

*\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0 ~\text{car}~e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}

\Rightarrow \lim_{x\to+\infty}f_{0}(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{0+1}=1

\lim_{x\to+\infty}f_{0}(x)=1

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 17:15

matheux14 @ 08-03-2021 à 17:12

\lim_{x\to+\infty}f_{0}(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{-x}+1}

*\lim_{x\to+\infty}1=1

*\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0 ~\text{car}~e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}} ligne inutile

\Rightarrow \lim_{x\to+\infty}f_{0}(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{0+1}=1

\lim_{x\to+\infty}f_{0}(x)=1 je dirais bien volontiers inutile, c'est écrit au dessus

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 17:17

Citation :
1-c) La droite d'équation y=1 est asymptote (horizontale) à (C_{0}) en +∞ et la droite d'équation y=0 est asymptote à (C_{0}) en -∞.


OK

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 17:19

Citation :
2) K(0 ;\dfrac{1}{2}) , f_{0}(0)=\dfrac{e^{0}}{e^{0}+1}=\dfrac{1}{2} aucun intérêt pour la démonstration , un centre de symétrie d'une courbe peut très bien ne pas appartenir à cette courbe

Donc K est centre de symétrie de (C_{0}).alors là, raisonnement complètement faux, tu revois ça ?

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 18:00

Soit la fonction h de \R vers \R définie par : h(x)=f_{0}(x+0)-\dfrac{1}{2}

Dh= \R.

Dh est symétrique par rapport à 0.

\forall x\in \R , h(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{e^{x}-1}{2(e^{x}+1)}.

\forall x\in \R , h(-x)=\dfrac{e^{-x}-1}{2(e^{-x}+1)}=\dfrac{\dfrac{1}{e^{x}}-1}{2\left(\dfrac{1}{e^{x}}+1\right)}

=\dfrac{\dfrac{1-e^{x}}{e^{x}}}{2\left(\dfrac{1+e^{x}}{e^{x}}\right)}=\dfrac{1-e^{x}}{2(e^{x}+1)}

=-\left[\dfrac{e^{x}-1}{2(e^{x}+1}\right]=-h(x)

\forall x\in \R , h(x)=-h(x)

h est impaire.

Conclusion : K(0 ; 1/2) est centre de symétrie de (C0)

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 18:20

OK, j'aurais sans doute préféré que tu me soutiennes cette démonstration par une égalité vectorielle qui fasse comprendre ce que tu faisais, mais ça va a priori

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 18:53

3) OK en gros
tu affirmes qu'elle est dérivable sur R, mais tu ne dis pas pourquoi

Citation :

\forall x\in \R , (e^{x}+1)²>0 donc le signe de f'_{0}(x) est celui de e^x et le tableau de variation de f_{0} sont ceux de la fonction e^{x}.


donc la dérivée est positive sur R et f_0 est croissante sur R

4-a) c'est là que tu dois dire que le point K est sur la courbe puis équation de tangente, tu sais faire ça quand même....

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 19:06

Pour 4-a) voir mon poste de 15 h 07.

3) \forall x\in \R , f_{0}(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1} , f est dérivable sur \R , car f0 est définie sur \R.

f'_{0}(x)=\left(\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}\right)'=\dfrac{(e^{x})'(e^{x}+1)-e^{x}(e^{x}+1)'}{(e^{x}+1)²}

=\dfrac{e^{x}(e^{x}+1)-e^{x}×e^{x}}{(e^{x}+1)²}

=\dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)²}

\forall x\in \R , (e^{x}+1)²>0 et ^{x}>0 donc le f'_{0} >0(x).

Par conséquent f0 est strictement croissante sur \R.

Tableau de variation de f 0.

Fonction exponentielle.

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 20:00

matheux14 @ 08-03-2021 à 15:07

Oups c'est plutôt la question 4-b) que je n'arrive pas à faire.

4-a) (T): y=f'_{0}(0)(x-0)+f_{0}(0)

y: \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}


c'est quoi ces deux points ? Fonction exponentielle.

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 20:26

Oups j'ai voulu écrire " = "

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 20:56

OK

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 08-03-21 à 21:16

4-b)  g(x) ≠ f(x)-[(1/4)x+1/2]

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 09-03-21 à 07:23

Bonjour , çà coince vraiment cette question 4-b

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 09-03-21 à 08:41

je n'ai pas essayé mais tu as mal lu ta question
on te demande de montrer que cette différence a le même signe que, ou le signe contraire à ...ils n'ont jamais dit "égal"
dit autrement le fait de connaître le signe de g(x) te permettra de connaître le signe de la différence
OK ?
tu y vas ? ....

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 11-03-21 à 20:30

D'accord

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 13-03-21 à 13:42

Bonjour ,

4-b) \forall x\in \R , f_{0}(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}} et (T) : y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}

g(x)=2e^{x}-xe^{x}-2-x

\forall x\in \R , f_{0}(x)-(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2})=\dfrac{g(x)}{4e^{x}+4}

\forall x\in \R , 4e^{x}+4 >0 , le signe de f_{0}(x)-(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}) est celui de \large{g(x) = 2e^{x}- x e^{x}-2-x}.

c) g est définie sur \R donc dérivable sur \R.

*\forall x\in \R , g'(x)=e^{x}+xe^{x}-1

*g''(x)=e^{x}(x+2)

d) *\forall x\in \R , g'(x)=e^{x}+xe^{x}-1

0 est un zéro évident.

Pour trouver : e^{x}+xe^{x}-1=0 \iff e^{x}+xe^{x}=1 \iff e^{x}=e^{\ln\left(\dfrac{1}{1+x}\right)}

\iff x=\ln\left(\dfrac{1}{1+x}\right)

Est ce que je dois dire que cela est impossible ?

Posté par
PLSVU
re : Fonction exponentielle. 13-03-21 à 14:15

Bonjour  matheux14
OK pour  g"    et g'
commence  par  l'etude de g"  puis g'    puis g    

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 13-03-21 à 14:44

Quel est l'intérêt quand on fait ainsi ?

Posté par
PLSVU
re : Fonction exponentielle. 13-03-21 à 15:14

    tu oublies que x appartient  à
ln(1/(1+x)    est défini si et seulement si x>-1

Pour étudier une fonction on commence par étudier sa dérivée..
pour étudier la fonction g ' , il faut étudier le signe de sa dérivée g"

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 13-03-21 à 21:39

g''(x)=e^{x}(x-2) ,

\forall x\in \R , e^{x}>0

\forall x\in ]-\infty;-2[ , x+2<0

\forall x\in ]-2 ;+\infty[ , x+2>0

\Rightarrow \forall x\in ]-\infty;-2[ , e^{x}(x+2)\le 0 et \forall x\in ]-2;+\infty[ , e^{x}(x+2)\ge 0

Par conséquent g' est strictement croissante sur ]-2;+\infty[ et strictement décroissante sur ]-\infty;-2[

Posté par
PLSVU
re : Fonction exponentielle. 13-03-21 à 21:59

OUPS je viens de voir que tu as fait un erreur de signe pour g   tu as mal recopié g...
g(x)=e^x- xe^x-2-x

donc g' est fausse g" aussi
g'(x)=e^x-xe^x-1
g"(x)=-x e^x

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 08:22

Bonjour ,

*\forall x\in \R , \large{g'(x)=(2e^{x}-xe^{x}-2-x)'}

\large{=(2e^{x})'-(xe^{x})'-2'-x'=2e^{x}-(x'e^{x}+x(e^{x})')-1}

\large{=2e^{x}-e^{x}-xe^{x}-1}

\large{=e^{x}-xe^{x}-1}

\large{g'(x)=e^{x}-xe^{x}-1}

* \forall x\in \R , \large{g''(x)=(e^{x}-xe^{x}-1)'}

\large{=e^{x}-(x'e^{x}+x(e^{x})')-1'}

\large{=e^{x}-e^{x}-xe^{x}=-xe^{x}}

\large{g''(x)=-xe^{x}}

\large{g''(x)=-xe^{x}} ,

\forall x\in \R , e^{x}>0

\forall x\in ]-\infty;0[ , -x>0

\forall x\in ]0 ;+\infty[ , -x<0

\Rightarrow \forall x\in ]-\infty;0[ , -xe^{x}\ge 0 et \forall x\in ]0;+\infty[ , -xe^{x}\le 0

Par conséquent g'' est strictement décroissante sur ]0;+\infty[ et strictement croissante sur ]-\infty;0[

Donc \forall x\in ]-\infty;0[ , g'(x)>0 et \forall x\in ]0;+\infty , g'(x)<0

==>  g' est strictement décroissante sur ]0;+\infty[ et strictement croissante sur ]-\infty;0[

D'où  \forall x\in ]-\infty;0[ , g(x)>0 et \forall x\in ]0;+\infty[ , g(x)<0

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 10:27

Par conséquent (T) est en dessous de (C0) sur ]-∞ ; 0 [ et au dessus de (C0) sur ]0 ; +∞[.

6-a) je fais comment ?

Je sais faire que si l'équation de la droite est du type x = a mais pas y= a

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 11:35

Citation :
==> g' est strictement décroissante sur ]0;+\infty[ et strictement croissante sur ]-\infty;0[

D'où \forall x\in ]-\infty;0[ , g(x)>0 et \forall x\in ]0;+\infty[ , g(x)<0 il me semble qu'il y a un bug dans cette conclusion

6a) Quand tu ne vois pas comment démarrer, fais un croquis sur ta feuille
place la droite d'équation y=1/2
fais 2 petits morceaux de courbe symétriques par rapport à cette droite

sur l'axe des abscisses ajoute a à 1/2, retranche a à 1/2
compare f(1/2 + a) et f(1/2 - a)
d'où l'idée de la démonstration

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 16:07

Qu'est ce qui n'est pas bon dans la conclusion ?

Est ce que f(x) = f1(x) -f0(x) ici  ?

Posté par
PLSVU
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 16:39

Bonjour malou et mathieu 14
Par conséquent g'' est strictement décroissante sur ]0;+\infty[ et strictement croissante sur ]-\infty;0[  OUI

Donc \forall x\in ]-\infty;0[ , g'(x)>0 et \forall x\in ]0;+\infty , g'(x)<0
  A corriger

Fonction exponentielle.

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 17:15

Bizarre alors

L'étude de g''(x) n'est pas fausse mais ne donne pas le bon signe de g'(x)

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 17:43

grr...
fais un tableau de variations
mets dérivée g""
variations de fonction g'
et complète ton tableau de variations avec g'(0)

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 18:49

Je ne comprends pas vraiment ..

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 18:50

Pourquoi g"" ?

Quel lien avec g' et g'(0) ?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 18:55

erreur de frappe, c'est g''

\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & 0 & & +\infty & \\ {\text{ signe de }g''} & & - & 0 & &+ & \\ {\text{variation de }g' }& & \searrow & & \nearrow & & \end{array}

malou edit > *** ce tableau est faux***

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 19:50

Ok , mais à mon avis les variations de g' ne déterminent pas le signe de g'(x).

D'où le signe de g(x) aussi.

Comment est-ce que cela pourrait nous intéresser ici ?

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 20:41

qu'est ce que je t'ai dit....

Citation :
et complète ton tableau de variations avec g'(0)

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 21:33

Ok

Fonction exponentielle.

Posté par
PLSVU
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 21:50

Regarde les courbes et corrige
Fonction exponentielle.

la courbe  rouge représente la fonction g

la courbe  verte  représente la fonction g'

la courbe  bleue représente la fonction g"

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 22:03

Ah désolé

Fonction exponentielle.

Posté par
PLSVU
re : Fonction exponentielle. 14-03-21 à 22:11

g"   est négative sur R ???

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 15-03-21 à 07:52

Fonction exponentielle.

La fonction g croit de -1 vers 0 et décroit de 0 vers -∞ donc g(x) < 0 sur \R.

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 15-03-21 à 07:55

Citation :
La fonction g' croit de -1 vers 0 et décroit de 0 vers -∞ donc g'(x) < 0 sur \R

Posté par
malou Webmaster
re : Fonction exponentielle. 15-03-21 à 08:28

bon, heureusement que PLSVU suit mieux l'affaire que moi...
mon tableau plus haut était faux
là le tien est OK
tu n'as pas besoin de chercher les limites, c'est du temps perdu
le simple fait que le maximum vaille 0 fait que g'(x) 0 (attention ce n'est pas strictement)
par contre tu peux dire
g'(0)=0 et pour x dans R*, g'(x) < 0
donc la fonction g est ....
et maintenant tu as les variations de g

cette méthode est à connaître car très classique
tu n'arrives pas à étudier le signe d'une dérivée, tu redérives dans le but d'obtenir une dérivée seconde, dont il est facile d'étudier le signe, et tu "remontes" ton tableau
OK ?

Posté par
matheux14
re : Fonction exponentielle. 15-03-21 à 17:00

La fonction g est strictement décroissante sur \R.

Fonction exponentielle.


D'après son tableau de variation ,\forall x\in ]-\infty; 0[ , g(x) > 0 et \forall x\in ]0; +\infty[ , g(x) < 0

Par conséquent , (T) est en dessous de (C0) sur ]-∞ ; 0 [ et au dessus de (C0) sur ]0 ; +∞[.

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