Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Fonction exponentielle de base a - Fonction racine enième

Posté par
H_aldnoer 28-03-05 à 02:44

slt a tous

voila si ca interesse quelques personnes un petit recapitulatif de cours sur le sujet indiqué en titre :

3$\fbox{\red \textrm Fonction exponentielle de base a - Fonction racine enieme}

3$\textrm \blue \underline{I-Puissance d'un reel strictement positif}

2$\textrm pour tout \underline{x>0} et pour tout \underline{p \in \mathbb{Z}} on a :
3$ln(x)^p=p\times ln(x)
2$\Longleftrightarrow3$e^{ln(x)^p}=e^{p\times ln(x)}
2$\Longleftrightarrow3$\fbox{x^p=e^{p\times ln(x)}

2$\textrm \red \underline{Definition:}
2$\textrm soit \underline{a \in \mathbb{R}^+} et \underline{b \in \mathbb{R}}: on appelle \underline{a^b} le nombre \underline{reel} definie par \fbox{a^b=e^{b\times ln(a)}}

2$\textrm \red \underline{Proprietes:}
3$\fbox{(a^b)^c=a^{b\times c}}
3$\fbox{(a^b\times a^c)=a^{b+c}}
3$\fbox{\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}}
3$\fbox{a^{-c}=\frac{1}{a^c}

2$\textit \underline{demonstration:}
4$(a^b)^c=e^{(ln(a)^b)^c}
2$\textrm et
4$e^{(ln(a)^b)^c}=e^{c\times(ln(a)^b)}=e^{c\times(ln(e^{ln(a)^b})}=e^{c\times(ln(e^{b\times ln(a)})}e^{c\times b\times ln(a)}=e^{ln(a)^{b\times c}}=a^{b\times c}
3$\textrm on a donc \fbox{(a^b)^c=a^{b\times c}}

2$\textit le principe est le meme pour demontrer les autres formules ...

3$\textrm \blue \underline{II-La fonction racine enieme}

2$\textrm \red \underline{Theorem - Definition:}
3$\.\array{rcl$n \in \mathbb{N}^*\\a \in [0;+\infty[}\}\textrm l'equation x^n=a admet une \underline{unique solution} dans [0;+\infty[ appele \underline{racine enieme de a} et note \fbox{\sqrt[n]{a}}

2$\textit \underline{demonstration:}
2$\textrm etudions sur [0;+\infty[ la fonction x\longr[75]_ff(x)=x^n
3$f^'(x)=n\times x^{n-1}
2$\textrm sur l'intervalle considere, [0;+\infty[, on a \underline{f'>0} donc f est \underline{strictement croissante} et elle est deplus \underline{continue} sur cette intervalle

2$\textrm d'autre part on a :
3$\.\array{rcl$f(0)=0^n=0\\\lim_{x\to +\infty} (x^n)=+\infty}\}\textrm \underline{l'intervalle image} est donc [0;+\infty[ (identique a l'intervalle de definition)

2$\textrm sur [0;+\infty[ la fonction est donc \underline{derivable}, \underline{continue} et \underline{strictement croissante} :
2$\textrm pour tout \underline{a \in [0;+\infty[} il existe une \underline{unique valeur} de x tel que \underline{x^n=a}

2$\textit \underline{remarque:}
2$\textrm 1) \underline{x \in [0;+\infty[}, x^n=0 admet une unique solution : x=\sqrt[n]{0}=0
2$\textrm 2) x^n=a avec \underline{a>0} et \underline{x>0}
2$\Longleftrightarrow3$ln(x^n)=ln(a)
2$\Longleftrightarrow3$n\times ln(x)=ln(a)
2$\Longleftrightarrow3$ln(x)=\frac{1}{n}\times ln(a)
2$\Longleftrightarrow3$ln(x)=ln(a)^{\frac{1}{n}
2$\Longleftrightarrow3$e^{ln(x)}=e^{ln(a)^{\frac{1}{n}}
2$\Longleftrightarrow3$x=a^{\frac{1}{n}}
2$\Longleftrightarrow3$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}


2$\textrm \red \underline{Proprietes:}
2$\textrm si \underline{a>0}, \fbox{\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}}
2$\textrm si \underline{a=0}, \fbox{\sqrt[n]{a}=0} (par convention 0^{\frac{1}{n}}=0)

\textrm donc pour tout \underline{a \in [0;+\infty[}, \fbox{\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}

2$\textrm \red \underline{Definition:}
\textrm on appelle fonction racine enieme la fonction definie sur [0;+\infty[ par f_n(x)=\sqrt[n]{x}=a^{\frac{1}{x}}

2$\textit \red \underline{etude de la fonction:}

3$\textrm sur\fbox{\red]0;+\infty[} x^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\times ln(x)}
2$\textrm \underline{ici le probleme mis en evidence vient de l'ecriture logarithmique : on ne peut l'utiliser que si x>0}
3$\textrm donc f_n(x)=e^{\frac{1}{n}\times ln(x) sur \mathbb{R}^+

2$\textit \underline{derive}
3$f^'(x)=\frac{1}{n}\times\frac{1}{x}\times e^{\frac{1}{n}\times ln(x)
\textrm sur \underline{\mathbb{R}^+}:
3$\.\array{rcl$\textrm\frac{1}{n}>0 car n \in \mathbb{N}^*\\\frac{1}{x}>0\\e^{\frac{1}{n}\times ln(x)>0}\}\textrm donc \underline{f' positive} et \underline{f strictement croissante}

2$\textit \underline{limite}
2$\textrm \underline{en 0^+}
3$\.\array{rcl$\lim_{x\to 0^+} (ln(x))=-\infty&=&\\\lim_{x\to 0^+} (\frac{1}{n})=\frac{1}{n}}\}\textrm par produit \lim_{x\to 0^+} (\frac{1}{n}\times ln(x))=-\infty

3$\.\array{rcl$\lim_{x\to 0^+} (\frac{1}{n}\times ln(x))=-\infty \\\lim_{X\to -\infty} (e^X)=0}\}\textrm par composee \lim_{x\to 0^+} f_n(x)=0

2$\textrm \underline{en +\infty}
3$\.\array{rcl$\lim_{x\to +\infty} (ln(x))=+\infty&=&\\\lim_{x\to +\infty} (\frac{1}{n})=\frac{1}{n}}\}\textrm par produit \lim_{x\to +\infty} (\frac{1}{n}\times ln(x))=+\infty

3$\.\array{rcl$\lim_{x\to +\infty} (\frac{1}{n}\times ln(x))=+\infty \\\lim_{X\to +\infty} (e^X)=+\infty}\}\textrm par composee \lim_{x\to +\infty} f_n(x)=+\infty

2$\textit \underline{continuite en 0}
2$\textrm on a \underline{\lim_{x\to 0^+} f_n(x)=0} et \underline{f_n(0)=0} donc f_n est \underline{continue} en 0

2$\textit \underline{derivabilite en 0}
3$\lim_{x\to 0^+} (\frac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0})=\lim_{x\to 0^+}(\frac{f_n(x)}{x})=\lim_{x\to 0^+}(\frac{x^{\frac{1}{n}}}{x})=\lim_{x\to 0^+}(x^{\frac{1}{n}-1})=\lim_{x\to 0^+}(e^{(\frac{1}{n}-1)\times ln(x)})

3$\.\array{rcl$\lim_{x\to 0^+} (ln(x))=-\infty&=&\\\lim_{x\to 0^+} (\frac{1}{n}-1)=(\frac{1}{n}-1)}\}\textrm par produit \lim_{x\to 0^+} (\frac{1}{n}-1)\times ln(x)=+\infty (car (\frac{1}{n}-1)<0)

3$\.\array{rcl$\lim_{x\to 0^+} (\frac{1}{n}-1)\times ln(x)=+\infty\\\lim_{X\to +\infty} (e^X)=+\infty}\}\textrm par composee \lim_{x\to 0^+} (\frac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0})=+\infty

2$\textrm la fonctin n'est pas derivable en 0 et la courbe admet une demi-tangente verticale en ce point

2$\textrm on a donc:
4$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&0&&&&&&+\infty\\{f'}&||&&&+&&&\\{f}&&&&\nearrow&&\\\end{tabular}


voila voila vous trouverer ci-dessous un petit graphique avec trois courbes: serez vous capable d'identifier celle-ci ??

Fonction exponentielle de base a - Fonction racine enième

Posté par
H_aldnoerpetit cours en latex 28-03-05 à 16:33

salut a tous

voila je reposte mon petit cours que j'avais fait avec les commandes latex pour savoir ce que vous en pensiez car je pense que c'est passé inapercu voila :

Fonction exponentielle de base a - Fonction racine enième

dite moi ce que vous en pensez

@+

*** message déplacé ***

Posté par
Océane Webmasterre : Fonction exponentielle de base a - Fonction racine enième 28-03-05 à 16:39

Bonjour H_aldnoer

Ton cours n'est pas du tout passé inaperçu
Je l'ai mis dans ma liste de tâches Dès que j'ai un moment, je le mets dans une fiche sur le site. Ca te va ?

Posté par
H_aldnoerre : Fonction exponentielle de base a - Fonction racine enième 28-03-05 à 16:47

oki

no problem


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !