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Fonction exponentielle et dérivée
Bonjour,un DM de maths à faire et je suis bloquée à l'une des dernière questions,et j'ai beau chercher je ne trouve pas la réponse,et je ne vois pas d'erreurs. En voici l'intitulé:
La fonction g est définie sur R par g(x)=(ax^2+bx+c)e^x,où a,b,c sont trois nombres.
1. A l'aide des points A(-1;0),B(0;-1) et C(0;2),trouvez les nombres a,b et c.
J'ai obtenue la fonction g(x)=(2x^2-3x+2)e^x
2.Compléter alors le tableau de variation de g en justifiant vos réponses.
J'ai donc g(x) croissante sur ]- l'infini;-1]U[0,5;+ l'infini[ et décroissante sur [-1;0]
3. On note T la tangente en C à la courbe C et φ la fonction définie sur R par φ(x)+g(x)-(2-x)
a)Etudiez les variations de φ.
C'est là que je bloque. J'ai justifié la dérivabilité et j'ai commencé le calcule:
φ'(x)=g'(x)-(-1)
φ'(x)=e^x(2x^2+x-1)+1
φ'(x)=e^x(2x^2+x-1+1/e^x)
φ'(x)=e^x(2x^2+x-1+e^-x)
Et là je ne sais plus quoi faire...
Merci d'avance pour vos réponses.
Ah,oui,je viens de m'apercevoir que j'ai oublié une petite précision.
Le point C appartient à g(x) alors que les points A et B appartiennent à g'(x).
ça a l'air OK juste pour l'intervalle où g est décroissante c'est [-1;0.5]
ET SURTOUT: on dit que g est croissante/décroissante car g est la fonction, pas g(x) ok ???
sinon
3. On note T la tangente en C à la courbe C et φ la fonction définie sur R par φ(x)+g(x)-(2-x)
une erreur en recopiant?
D'accord,merci d'avoir préciser la différence entre g et g(x).
Sinon,en effet c'est une erreur en recopiant,je m'excuse.
Voici la fonction rectifiée:φ(x)=g(x)-(2-x)
C'est là que je bloque. J'ai justifié la dérivabilité et j'ai commencé le calcule:
φ'(x)=g'(x)-(-1)
φ'(x)=e^x(2x^2+x-1)+1
ta dérivée est correcte
à partir de ce stade, je te conseille de dériver à nouveau cette dérivée pour étudier les variations de
' et d'en déduire ensuite son signeD'accord,du coup on obtient:
φ''(x)=e^x(2x^2+x-1)+(4x+1)e^x=e^x(2x^2+x-1+4x+1)=e^x(2x^2+5x)
C'est bien ça?
e^x strictement positif donc le signe dépend de 2x^2+5x
Δ=b^2-4ac=5^2-4*2*0=25
x1=-5
x2=0
Donc φ'' négatif sur [-5;0] et positif sur ]- l'infini;-5]U[0;+ l'infini[
Donc φ' croissante sur ]- l'infini;-5[U[0;+ l'infini[ et décroissante sur [-5;0]
C'est bien ça?
d'accord pour x2 mais pas x1
mais tu aurais pu voir que "(x)=e^x(2x+5)x
sinon le reste c'est ok
il faut maintenant calculer les limites aux bornes de ton expression pour en déduire le signe de '
as-tu déjà vu les croissances comparées en cours?
Oui,mais on est passé très rapidement dessus,du coup je n'ai pas vraiment compris comment ça marchait. Pourriez-vous me l'expliquer s'il vous plait?
je te conseille de voir la fiche suivante: 
Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances, logarithmes où c'est très bien expliqué!
tu pourras grâce à ça calculer la limite en -oo et +oo et tu peux déjà maintenant calculer les valeurs en x=-5/2 et en x=0 pour '(x)
pour ton tableau de variations de ', tu peux déjà calculer f(0) et f(-5/2) et ta limite en +oo qui n'est pas une F.I
pour la limite en -oo c'est autre chose
il faut justement utiliser les croissances comparées..
D'accord
donc pour la limite en + l'infini c'est + l'infini
ensuite,φ'(0)=0 et φ'(-5/2)=1,74
Je vais voir pour la limite en - l'infini...
le 1.74 n'est pas une valeur exacte (tu peux la marquer quelque part sur ta copie) mais dans ton tableau laisse
'(-5/2)
je suis là si tu as besoin d'un coup de pouce!
D'accord,merci pour le conseil.
Je veux bien d'un peu d'aide,je ne vois pas vraiment comment transformer l'expression e^x(2x^2+5x) pour obtenir quelque chose de la forme x^ne^x.
Je trouve quelque chose comme ça mais je ne sais pas si c'est bon:
e^x(2x^2+5x)=x^2e^x(2+5/x)
et donc la limite de x^2e^x en - l'infini est 0 et la limite en - l'infini de 2+5/x c'est 2 donc la limite du tout est 0.
tu as pris l'expression de "(x) pas de '(x)!
or un polynôme a la même limite que celle de son terme de plus haut degré
d'où
donc
Ah oui,pardon.
Je reprends:
limite en - l'infini de 2x^2=- l'infini
limite en - l'infini de (2x^2e^x)=0
C'est bien ça?
précise que c'est par croissances comparées
tu es sûr pour
???
attention à l'exposant qui est pair!!
maintenant que tu as les variations de ' ainsi que les valeurs aux bornes de son ensemble de définitions et quelques valeurs particulières, que peux-tu dire du signe de '(x)?
Ah,oui,je n'avais pas fait attention.
limite en - l'infini de 2x^2=+ l'infini
donc φ' est positif,c'est bien ça?
oui mais attention, dis comme ça, tu sembles confondre
en faisant ton tableau de variations de ' à partir du signe de "(x) tu as pu déduire le signe de '(x) qui est toujours positive et qui s'annule en x=0
tu en déduis donc les variations de qui est toujours croissante
tu calcules donc (0) et tu remarques que (0)=0 (fais apparaître cette valeur dans ton tableau de variations, elle peut, ou pas, t'être utile aux questions suivantes)
D'accord,merci.
J'ai besoin de vous encore,juste pour quelques secondes...
Pour la dernière question,il me demande de déduire la position de T par rapport à C.
C est donc au-dessus de T sur R,non?
je suppose que l'expression de T est y=2-x ?
puisque g(x)-(2-x) 
0
g(x) 2-x
donc C est au-dessus de T sur 
(C et T admettent par ailleurs un point d'intersection en x=0 puisque (0)=0)
Pour ce qui est de l'équation de T ce n'est pas précisé dans l'énoncé mais je suppose bien sur que c'est y=2-x.
Merci beaucoup pour toutes vos réponse et votre patience!
Bonne fin de soirée.
si ce n'est pas précisé dans l'énoncé, il faut le calculer!!
T est la tangente à C en 0 (ça doit être cela qu'on te dit dans ton énoncé)
or l'équation de la tangente à une courbe est donnée par :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
ici a=0 ; f'(0)=e^0(2 x 0^2+0-1)= -1 et f(0)=(2*0^2-3*0+2)e^0=2*1=2
d'où
T : y=-1x+2
y=2-x
ravi si j'ai pu t'aider (cet exercice est plutôt difficile donc il est tout à fait compréhensible que tu as eu du mal à le faire)
bonne soirée!
N.B: mets ton profil à jour, tu n'es plus en première...
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