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Fonction inverse avec logarithme
Bonjour à tous !
J'ai un problème avec cette fonction f(x)= 1/xlnx
Il faut que je parte de quoi pour dresser le tableau de signes et le tableau de variation de cette fonction?
Par ailleurs quelle fonction de référence dois-je utiliser pour montrer que f'(x)= -1+lnx /(xlnx)² ?
Et celle pour trouver une primitive de f?
Merci pour votre aide ! 
Mileyns
Bonjour, ça se dérive comme un 1/v en -v'/v2
Pour trouver une primitive, il faut remarquer que c'est un u'/u (avec u=ln(x)) donc la primitive c'est ln(ln(x))
Merci, pour ta réponse qui m'a beaucoup aidé. Par ailleurs pour le tableau de signe c'est :
x 0 +
f(x) +
et pour le tableau de variations il faut le faire avec sa dérivée, c'est ça?
Merci!
je ne comprends pas. Le logarithme est négatif quand x est entre 0 et 1. Sinon oui, il faut étudier le signe de la dérivée puis en déduire la croissance ou décroissance de f(x).
La voilà ta fonction :
Normalement le logarithme n'est jamais négatif, enfin je crois.
J'ai également du mal à faire le tableau de variation avec la dérivée..
J'ai mis ça mais je ne suis pas sûre :
x 0 1 e +
-1+lnx - / - /o +
(xlnx)² + // + / +
f'(x) - // - /o +
f (x) - // - /o +
f décroissante jusqu'à e puis croissante jusqu'à +
Merci!
J'aime bien le "normalement". Il est négatif entre 0 et 1, il tend même vers - au voisinage de 0. Voilà le graphe de la fonction log :
Ta dérivée c'est -(ln(x)+1)/(x2log2(x)) (à force de ne pas mettre de parenthèses au bon endroit, on se trompe)
Donc dans ton tableau de signes, c'est 1+ln(x) qu'il faut mettre. Ca s'annule pour 1/e et pas pour e
Simplement pour préciser qu'une primitive (et non LA primitive) de f sur ]0;+oo[ est x:-> ln( I ln(x) I ) [ ln de valeur absolue de ln(x) ]
Ici la valeur absolue est importante
D'accord! Merci.
Le tableau est :
x 0 1 1/e +
1+lnx - / - /o +
(xlnx)² + // + / +
f'(x) - // - /o +
f (x) - // - /o +
f décroissante jusqu'à e puis croissante jusqu'à +
C'est ça?
Ta dérivée -(ln(x)+1)/(x2log2(x)) est du signe de -(ln(x)+1) ça s'annule pour x=1/e, c'est positif avant et négatif après. Ta fonction est donc croissante jusqu'à x=1/e et décroissante après (comme sur le dessin) et il y a une asymptote en x=1 puisque ça annule le ln du dénominateur.
Alors mon tableau de variation est :
x 0 1/e +
-(ln(x)+1) + /o -
f'(x) + /o -
f(x) croissante décroissante
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