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Fonction ln

Posté par
Ayato 31-12-15 à 13:06

Hello,

J'aimerai bien qu'on me corrige sur un exercice assez long sur la fonction logarithme népérien merci ^^.

Partie 1
U une fonction dérivable sur ; où U2=U.U
a)Démontrer que si U à comme dérivée U' , alors (U2)' =2U'.U

b) En déduire que si g est définie par g(x)= (lnx)2 ; alors g'(x)=2 lnx/x

Mes réponses :

a) On sait que (U2)'= (uxv)'= u'v+uv'      
Or, U2=UxU
Donc par identification v=U  
Ainsi (uu)'=(uv')

Or (uxv)'=u'v+uv' (uu)'=u'v+uv'
                                                                                                  =u'u+uu'
                                                                                         (uu)'=2u'u
Cqfd
Je ne sais pas trop si c'est bon car en faite j'ai considéré que U=u et v=U
or par exemple si : uv=U.U=100
u=50 v=2  et U=10
Donc c'est un peu faux ?
Ah moins que comme c'est le produit qu'on prend ? Je ne sais pas trop

b)On a montré que (U2)'=2U'U

g(x)=(lnx)2 g'(x) = 2(lnx)'lnx

Or (lnx)'=1/x   g'(x)= 2(1/x)lnx
                                                                                g'(x)= 2lnx/x

Cqfd

Partie B

Soit f la fonction définie sur R+* par : f(x)= ((1+2lnx)/(x))-2  où -2+(1+2lnx)/(x) pour être plus lisible ^^
c) Démontrer que f tend vers l'infini au voisinage de 0

d) Quelle est la limite de f au voisinage de + ? Justifier

e) Quelle interprétation graphique faites -vous des deux précédents résultats?

f) Démontrer que f est dérivable susr ]0;+[ de dérivée f'(x)=(1-2lnx)/(x2)

g) En déduire les variations de f ; puis résumer vos résultats dans un tableau de variations.

h) Calculer l'abscisse du pint d'intersection de la courbe de f avec la droite d'équation y=-2

i) En vous aidant de votre calculatrice, tracer l'allure de la courbe de f avec ses asymptotes, si elle en possède

j) Que peut-on dire du signe de la fonction f? Justifier

Mes réponses :

c) f(x)=((1+2lnx)/x ) -2
  
  lim ((1+2lnx)/x ) -2                            (1+2lnx)/x ) -2
x0                              
                                                                     (x((1/x)+2ln)/(x(1))-2

                                                         ((1/x)+2ln)/1)-2

Or, lim 1/x =
        x0
         lim 2ln=2ln                    
         x0

lim ((1/x)+2ln)/1)-2 = -2=
x0

Cqfd
Donc Cf admet une asymptot d'équation y=

d) lim ((1+2lnx)/x)-2
    x+

On remarque que  ((1+2lnx)/x)-2= (2lnx/x)+(1/x)-2 x0
Or, lim lnx/x =0                par produit lim 2lnx/x=0
       x+                        x+


0+0-2=-2

Donc lim f(x)=lim ((1+2lnx)/x)-2 =-2
             x+
Donc Cf admet une asymptot d'équation y=-2
e) Je ne sais pas vraiment sur la calculatrice on dirait une partie de fonction inverse négative.

f) f(x)=((1+2lnx)/x)-2

On remarque que f=u/v avec pour tout x appartenant à R+*

(u/v)=((u'v-uv')/v2)  avec u=1+2lnx  ; u'=2/x ; v=x ; v'=1

f'(x)= ((2/x)x-(1+2lnx)(1))/x2
         = (2-1-2lnx)/x2
f'(x) = (1-2lnx)/x2

Cqfd

g) On obtient les variations de f grâce à sa dérivée :
f'(x) = (1-2lnx)/x2      x>0

f(0) =-2 Enfin je sais pas trop comment faire la je bloque..

f) Non plus

i) J'ai pas compris ce qu'il demande là ? Faut refaire le graphique sur ma feuille ?

j) ...

Merci pour votre aide et Bonne fête de fin d'année

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 14:36

Partie 3

Soit F la fonction définie sur R+* par F(x)=lnx+(lnx)2-2x
Le but est de résoudre l'équation (E) : lnx+(lnx)2-2x=0

k) Démontrer que F est dérivable et que x>0 F'(x)=f(x)

l) En déduire les variations de F puis dresser une tableau de variation de F sans besoin de préciser ses limites au bornes de son ensemble de déf

m) Calculer F(1) et F(e-2) où e est le nombre définie par ln(e)=1

n) Montrer que l'équation (E) admet une solution unique notée x0 dans l'intervalle [e-2;1]

o) En vous aidant de votre calculette, déterminer une valeur approché de x0
à 0.001 près. Justifier explicitement.

k) x>0
F(x)=lnx+(lnx)2-2x

On remarque que F= (u+v)' =u'+v'

Avec u=lnx+(lnx)2 u' =(1/x)+(lnx)2'

Or, avec la formule de la partie 1 où (U2)'=2U'.U
On a : u'=(1/x)+(2/x)lnx= (1+2lnx/x)

et v= -2x v'=-2

Qui donne F'(x)=((1+2lnx)/x)-2
Cqfd

l)On obtient les variations de F grâce à sa dérivée x>0
(1+2lnx)/x)-2=0
(1+2lnx)/x)    =2
2lnx +1 = 2x
2lnx = 2x-1
2 = e2x-1

J'arrive pas à faire mon tableau...

m)  F(1)= ln1+2ln1-2
         F(1)= 0 + 0 -2 =-2

F(e-2)= ln(e)+2ln(e)-2e
                                      = 1+2-2e
F(e  -2)=3-2e

n) J'y réfléchis encore

o) Pareil

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 15:12

Up s'il vous plaît !

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 15:36

Up

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 16:29

Up

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 16:33

Bonjour,

Citation :
Je ne sais pas trop si c'est bon car en faite j'ai considéré que U=u et v=U
or par exemple si : uv=U.U=100
u=50 v=2  et U=10
Donc c'est un peu faux ?
Ah moins que comme c'est le produit qu'on prend ? Je ne sais pas trop


Tu n'as pas pris des fonctions mais des réels ...

partie  B

(x((1/x)+2ln)/(x(1))-2   ????


                                                        

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 16:46

Ah oui merci !

Pour la partie B je reconnais que ce n'est pas très lisible j'ai factorisé dénominateur et numérateur pour faire partir les x afins  d'enlever l'indétermination

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 16:55

partie B

f(x)=\dfrac{1+2ln(x)}{x}-2

f(x)=\dfrac{1+ln(x)}{x}+\dfrac{ln(x)}{x}-2

\lim_{x\to 0}\dfrac{1+ln(x)}{x}=1

\lim_{x\to 0}\dfrac{ln(x)}{x}=-\infty

\lim_{x\to 0}f(x)=-\infty

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 17:06

Merci mais je ne comprend pas pourquoi c'est - à l'avant dernière ligne car ça pourrait aussi être + non ?

Sinon vu que c'est pas très lisible j'ai recopié tout le sujet sur paint

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 17:12

Etant donné que je n'arrive pas à atacher voici l'énoncé en plus clair :
***lien supprimé***** image supprimée ** [/url]

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 17:12

Ok pour la limite en +∞

Citation :
e) Quelle interprétation graphique faites -vous des deux précédents résultats?

   c'est là que tu parles des deux asymptotes l'axe des y et la droite y=-2
dérivée Ok
signe de la dérivée
f'(x) = (1-2lnx)/x2  
signe de 1-2ln(x) ,x>0
1-2ln(x)>0
ln(x)<0,5
eln(x)<e0,5
x<e0,5
je viens de voir ton message ;
quand x tend vers 0 alors  ln(x) tend vers -∞
je regarde la auite

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 17:13

http://www.noelshack.com/2015-53-1451578338-nouvelle-image-bitmap-10.png

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 17:16

non pas de scan d l'énoncé ... ni http ce n'est pas autorisé sur ce site ,
j'arrive à lire ce que tu as tapé ..

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 17:17

Citation :
g) En déduire les variations de f ; puis résumer vos résultats dans un tableau de variations.

je pense que   ça doit  être OK  puisque tuas le signe de f' et les limite de f

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 17:19

Merci je fais le tableau de variation.

Ok désolé.

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 17:23

Citation :
h) Calculer l'abscisse du point d'intersection de la courbe de f avec la droite d'équation y=-2

il faut résoudre
f(x)-2=0
puis  souviens-toi que
eln(x)=x
le point d'intersection  est    situé lorsque f est croissante ...
Citation :
i) En vous aidant de votre calculatrice, tracer l'allure de la courbe de f avec ses asymptotes, si elle en possède

ou avec geogebra ( logiciel gratuit )
Citation :
j) Que peut-on dire du signe de la fonction f?

   justifie que la courbe admet un maximum    et précise son signe .

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 17:33

partie 3)
tu as dû remarquer que la dérivée  de F est la fonction f  , dont tu viens de déterminer le signe...( négatif )
( mais comme tu  n'avais pas  répondu à la dernière question de la partie 2...)
je pense que ça doit être Ok pour toi

m)  Ok pour F(1)=-2
  F(e^{-2})=ln(e^{-2})+(ln(e^{-2}))^2-2e^{-2}
refais le calcul

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 17:36

Merci
h) f(x)-2=0
-2-2+(1+2lnx)/x2 =0
-4+(1+2lnx)/x2=0
(1+2lnx)= 4x2
ln x = 2x2-0.5
elnx=e2x²-0.5
x= e2x²-0.5

On peut le faire partir le e encore ? Ou c'est bon comme ça ?

i) Certes j'ai compris ça mais je vois pas ce qu'il faut que je mette comme réponse

j) J'y réfléchis

Fonction ln

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 17:44

J'arrive pas à répondre à la h je crois que mon tableau est faux..

D'ailleurs j'ai oublié la borne en 0 qui est -

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 17:54

F(e^{-2})=ln(e^{-2})+(ln(e^{-2}))^2-2e^{-2}
F(e^{-2})=-2 -2*-2-2e^{-2}            
F(e^{-2})=2-2e^{-2}

Je sais pas trop comment faire partir l'exposant là

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 17:56

oups  j'avais fait une erreur de signe
il faut que f(x)=-2  avec  x>0
d'où f(x)+2=0
\dfrac{1+2ln(x)}{x}-2+2=0

\dfrac{1+2ln(x)}{x}=0

1+2ln(x)=0 \\ \\ 2ln(x)=-1 \\ \\ ln(x)=-0,5 \\ \\ e^{ln(x)}=e^{-0,5} \\ \\ x=e^{-0,5} \\ \\

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 18:00

F(e-2 )=2-2e-2 = OK
puis pour justifier  que c'est un nombre positif
2(1-\dfrac{1}{e^2})=2(1-(\frac{1}{e})^2)>0

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 18:11

J'essaye la n :

f est continue
f est décroissante
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation (E)=0 admet une unique solution (notée α ) sur [e-2 ; 1]
De plus f coupe x en -2 cette solution se situe donc entre 3 et 1

et la o j'y réfléchis

Je me demandais c'esst normal qu'à aucun moment on a jamais calculé f(0) où f(de quoi que ce soit) ?

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 18:15

Fest continue
Fest décroissante
F(e-2>0 et F(1)<0
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, l'équation (E)=0 admet une unique solution (notée α ) sur [e-2 ; 1]

Citation :
De plus f coupe x en -2 cette solution se situe donc entre 3 et 1

je ne comprends ce que tu veux dire

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 18:24

Ah oui j'avais oublié F(e-2) et F(1) Merci

Non rien j'ai juste dû fantasmer..

Pour la o je peux utiliser le graphique de la calculatrice mais ce sera pas à 0.001 près je peux faire autrement ?
Et, est- ce que tu peux me guider sur la i et la j merci.

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 18:26

Plus je fais le tableau de variation de la l

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 18:31

.

Fonction ln

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 18:34

Citation :
Je me demandais c'esst normal qu'à aucun moment on a jamais calculé f(0) ou f(de quoi que ce soit) ?


on a jamais calculé f(0)   heureusement car ln(0)

f(de quoi que ce soit) ? tu aurais dû calculer f(e0,5)
pour montrer que f <0 pour tout x
d'ailleurs sur ton tableau corrige f' s'annule pour e0,5 ( et non 0)
  pour f le maximum f(e0,5)=(2-2*e0,5)/e0,5-0,79 et non e0,5
n'oublie pas  le -∞ et le -2

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 18:47

Je crois que mon tableau est bon là normalement.


tu aurais dû calculer f(e0,5)
pour montrer que f <0 pour tout x
  pour f le maximum f(e0,5)=(2-2*e0,5)/e0,5-0,79 et non e0,5
[/quote






Mais je ne comprends faire ça dans quel but ?

Fonction ln

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 18:59

corrige ton tableau de variations
  le maximum pour f  n'est pas e0,5 ,  e0,5 , c'est la valeur de x pour laquelle f' s'annule
les doubles barres sont au début  et non quand f'(x)=0

sur 1ere la ligne  x   0 ( n'oublie pas les doubles barres  0 valeur interdite) e0,5    puis +∞

  ensuite signe def' +       0 ( sous le e0,5 )     puis-
   puis variation de f  (-∞)croissante         f(e0,5)     0,79  puis décroissante      -2      

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 19:06

Ah merci beaucoup pour ton aide je ferai la dernière sur geogebra bonne fête de fin d'année

Posté par
Labore : Fonction ln 31-12-15 à 19:10

Je suis obligée de m'absenter  jusqu'à samedi  .
  le tableau de variation de F
tu as oublié les double barres pour le 0

A samedi si nécessaire

Posté par
Ayatore : Fonction ln 31-12-15 à 19:12

Ah oui, oh ok merci encore.


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