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fonction Ln
Partie A
On définit la fonction d sur [1;+infini[ par d(x)=ln x-(x-1)+ ((x-1)²/2)
1) Etudier les varations de la fonction d sur [1;+infini[ et en déduire le signe de d(x)
2) Procéder de même maniere avec la fonction & définie sur [1;+infini[ par &(x)=lnx-(x-1)
3) En déduire que pour tout x supérieur à 1, - ((x-1)²/2) < lnx-(x-1) < 0 et |lnx-(x-1)| < ((x-1)²/2)
4) il en résulte que par exemple 0,00001 est une valeur approchée de ln 1,00001.
Dans cette exemple, donner un majorant de l'erreur c'est à dire un nombre plus grand que la valeur absolue de la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée.
Partie B
on considère l'algorithme suivant:
Entrée a(1<a<20)
Entrée n (entier naturel)
Dans U mettre a
Pour l de 1 à n
Dans U mettre racine carré de U
Fin de la boucle Pour
Dans V mettre U-1
Pour l de 1 à n
Dans V mettre 2xV
Fin de la boucle Pour
Afficher V
1) faire fonctionner cet algorithme à la main pour a=16 et n=4
2) implémenter cet algorithme sur calculatrice, le faire fonctionenr pour n=10 avec a=8 puis avec a=1,234
Comparer avec ln a , qu'observe t'on ?
3) Exprimer ln U en fonction de ln a . En utilisant le résultat de la question A)3) en déduire que |ln a - V| < (U-1)²x 2^(n-1)
ici U désigne le contenu de la variable U à la fin de la 1ere boucle et V le contenu de V à la fin de la 2ème boucle
4) avec n=15 et a=2 , l'algorithme donne U-1 = 0,0000211534 à la fin de la première boucle et la partie A prouve que |ln U - (U-1)| < 3x10^10
Expliquer pourquoi la valeur de V affichée à la sortie de l'algorithme vérifie alors l'inégalité |ln2-V| < 10^-5
Donner V et une valeur approchée de ln 2 donnée par une calculatrice;
5)le nombre a, supérieur à 1 étant donné on peut considerer que les variables U de cet algorithme sont les premiers termes d'une suite et démontrer qu'elle converge vers 1, on l'admet ici. On peut donc obtenir que U soit aussi proche de 1 que l'on souhaite.
Modifier alors l'algorithme en rajoutant une condition pour que 0<U-1<10^-8
et simplifier le en évitant d'utiliser la deuxième boucle.
bonjour
1) faire fonctionner cet algorithme à la main pour a=16 et n=4
tu l'as fait fonctionner ?
pas à la calculette, j'ai une casio graph35+ et j'ai beaucoup de difficulté avec les algorithme
à la main je trouve V=6
Je ne connais les calculatrices mais il semblerait que ce soit une parmi les meilleures pour le lycée..
Il faut que tu regardes comme programmer les boucles "for" et "while"..
Sinon pour a=16 et n=4 on trouve V=3,02731
2 ????????????????????????????
ta calculatrice te donne quoi pour V et ln2 ?? Quelle est la différence ?? Vérifie t'elle ce que tu as trouvé ?
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