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Fonction ln

Posté par
Aldebarran
24-03-21 à 13:23

Bonjour,
Je rencontre des soucis avec un des exercices d'un DM. Je vous écris l'énoncé :

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère (O; i, j) la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; +∞[
- Les points A B et C ont pour coordonnées respectives (1;0), (1;2), (0;2)
- La courbe C passe par le point B et la droite BC est tangente à C en B
- Il existe deux réels positifs a et b tels que, pour tout réel x strictement positif, f(x) = (a + bln(x))/x

1.a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f(1) et f'(1).
b. Vérifier que pour tout réel x strictement positif, f'(x) = ((b-a) - bln(x))/x²
c. En déduire les réels a et b.

2.a. Justifier que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; +∞[, f'(x) a le même signe que -ln(x).
b. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. On pourra remarquer que, pour tout réel x strictement positif, f(x) = (2/x) + ((2ln(x))/x).
c. En déduire le tableau de variations de la fonction f.

3.a. Démontrer que l'équation f(x) = 1 admet une unique solution α sur l'intervalle ]0 ; 1].
b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un réel β de l'intervalle ]1 ; +∞[ tel que f(β) = 1. Déterminer l'entier n tel que n < β < n+1

Voici ce que j'ai répondu :
1.a. f(1) = 2 et f'(1) = 0

b. f = u/v avec u(x) = a + bln(x) et v(x) = x
                u'(x) = b/x                 v'(x) = 1
f'= (u'v - uv')/ v²
f'(x) = (x*(b/x) - [a + bln(x)]) / x² = [b-a-bln(x)] / x² = [(b-a) - bln(x)]/x²

c. D'après 1.a., f(1) = 2 et f'(1) = 0. De plus, d'après 1.b., f'(x) = [(b-a) - bln(x)]/x²
On obtient ainsi le système :
([a + bln(1)] / 1) = 2
[(b-a) - bln(1)]/1² = 0
⇔ a + 0 = 2
     b - a - 0 = 0
⇔ a = 2
     b = 0 + a
⇔ a = 2
     b = 2

Je me suis trompé ici, car les limites que je trouve aux questions d'après ne me semblent pas correctes. Il faudrait m'indiquer où se trouve mon erreur, pour que je puisse passer à la suite.
J'ajoute aussi que je ne suis pas sûr de comprendre la question 2)a). Doit-on étudier le signe de f' ?
Merci !

Fonction ln

Posté par
PLSVU
re : Fonction ln 24-03-21 à 13:56

Bonjour,
  1a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de f(1) et f'(1).
. f(1) = 2 et f'(1) = 0 tes réponses sont fausses

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 14:01

Bonjour

Pourquoi ce décalage sur le graphique ?

En tenant d'icelui les réponses sont correctes.  

  Pourquoi y aurait-il une erreur ?

Bonjour PLSVU  Je vous laisse  poursuivre

Posté par
PLSVU
re : Fonction ln 24-03-21 à 14:02

erreur dans l'énoncé
Les points A B et C ont pour coordonnées respectives (1;0), (1;2), (0;2)

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 14:03

Alors je ne sais pas trouver ces valeurs

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 14:14

Vous ne répondez pas à ma question  Pourquoi 1 n'est-il pas au bout de la flèche du vecteur représentant \vec{\imath}

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 14:16

Je ne sais pas, j'ai scanné le graphique de l'énoncé. Il n'y a pas d'explication à ce sujet sur ma feuille.

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 14:23

Mais le 1 est bien à deux carreaux  sur votre énoncé  regardez bien  le scan est-il conforme à l'énoncé ?

rescannez-le  s'il est différent vous l'envoyez  sinon ce n'est pas la peine

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 14:26

Les deux graphiques sont identiques.
Pour les valeurs de f(1) et de f'(1), je m'étais basé sur les données de l'énoncé, et non sur la graphique, car je ne voyais pas il pouvait m'aider à répondre à la question.

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 14:37

J'ai bien l'impression que le graphique est faux  Il y a eu un décalage sur l'axe des abscisses

A a bien pour abscisse 1   et non 0,5 comme semble le suggérer le faux graphique.

De toute façon ce graphique ne sert à rien.

 f(1)=0   car on définit le point par ces coordonnées

f'(1)=0, car la tangente en B d'abscisse 1 est parallèle à l'axe  des abscisses

  Vous ne mettez pas comment vous calculez les limites

on vous dit

 f(x) = (2/x) + ((2ln(x))/x).   ce qui prouve bien que a=b=2

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 14:46

limite en 0 de 2/x = +∞
limite de 2 en 0 = 2
limite en 0 de ln(x) / x = 0 par croissance comparée.
Par produit, limite en 0 de 2ln(x) / x = 0
Par somme, limite en 0 de (2/x) + (2ln(x)/x) = +∞

limite en +∞ de 2/x = 0
limite en +∞ de 2 = 2
limite en +∞ de ln(x) / x = 0 par croissance comparée.
Par produit, limite en +∞ de 2ln(x) / x = 0
Par somme, limite en +∞ de (2/x) + (2ln(x) / x) = 0

Je pense que c'est faux car ça ne correspond pas à la courbe...

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 15:11

En 0 il n'y a pas de croissance comparée

\displaystyle \lim_{x\to 0}(2+2\ln x)=-\infty \quad \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}\right)=+\infty

Produit des 2

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(2+2\ln x)}{x}=-\infty


\displaystyle  \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+2\ln x}{x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{x}+\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\ln x}{x}=0+0=0

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 15:30

D'accord j'ai compris pour la limite en 0. Je passe au tableau de variations.
Concernant la question 2.a., faut-il étudier le signe de f' ?

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 15:33

Comme d'habitude,  c'est bien à partir du signe de la dérivée que vous déduisez le sens de variation de la fonction par conséquent évidemment signe de f'(x)

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 15:41

Pour la 2.a. : Étude du signe de f' :
x² > 0
(b-a) - ln(x) >= 0 ⇔ (2 - 2) - 2ln(x) >= 0 ⇔ -2ln(x) >= 0 ⇔ ln(x) <= 0
Je trouve que f' est du signe de ln(x) et non du signe de -ln(x)...

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 15:49

f'(x)=\dfrac{-2\ln x}{x^2}

On  a bien  f'(x)>0 \iff x\in]0~,~1[ soit l'opposé du signe de \ln x

Sur cet intervalle  \ln x <0

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 15:52

Pourquoi sur ]0 ; 1] ? Dans l'énoncé, on demande pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 16:00

Parce que  la fonction dérivée ne garde pas un signe constant

sur un intervalle positif sur l'autre négatif

Malgré le défaut du graphique vous voyez bien que la fonction est croissante d'abord et décroissante ensuite.

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 16:07

D'accord je crois que j'ai compris, mais je ne sais pas comment le rédiger.

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 16:22

f'(x)=\dfrac{-2\ln x}{x^2}

 f'(x)>0 \iff x\in]0~,~1[

Vous citez les théorèmes

Si pour tout x\in I,\:f'(x)> 0 alors f est  strictement croissante sur I.
Si pour tout x\in I, \:f'(x)<0  alors la fonction f est strictement décroissante sur I.

Ensuite le tableau de variation

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 16:28

Les théorème ? Je ne comprends pas... Moi j'étais parti sur une inéquation...

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 16:31

L'inéquation est résolue en deuxième ligne  Il est inutile de résoudre le cas f'(x)<0

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 16:48

D'accord. Pour la 2)c) :
signe de f': valeur interdite en 0, positive sur ]0 ; 1[, négative sur ]1 ; +∞[
variations de f valeur interdite en 0, croissante sur ]0 ; 1[, décroissante sur ]1 ; +∞[

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 16:55

À compléter par les limites et l'image de 1


Je ne peux mettre une double barre et la limite
Fonction ln

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 17:13

Pour la 3.a. : Sur ]0 ; 1], f est continue (car elle est dérivable sur R+) et strictement croissante.
f(1) = 2 et la limite de f en 0 vaut - ∞
1 E ]-∞ ; 2] donc d'après le th de la bijection, l'équation f(x) = 1 admet une unique solution dans ]0 ; 1].

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 17:17

Oui
De même une unique solution entre 1 et +\infty

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 17:19

D'accord, je passe à la 3.b.
Par contre, pour la 1.c., avec  f(1)=0 , on ne peut pas trouver a = b = 2...

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 17:32

f(1)=2 puisque la courbe passe par B

Oui à 14 : 37, c'est une faute de frappe

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 17:37

Ah je comprends mieux !

Pour la 3.b. : Sur [1 ; +∞[, f est continue  et strictement croissante.
f(1) = 2 et la limite de f en +∞ vaut 0
1 E [2 ; 0[ donc d'après le th de la bijection, l'équation f(x) = 1 admet une unique solution dans [1 ; +∞[.
Est-ce ainsi qu'il faut commencer ? Cette question n'est pas formulée comme la précédente.

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 17:46

On ne vous demande pas de répéter ce que vous avez fait.   Vous auriez pu écrire on démontre de même que  

En revanche dans cette question on vous demande un encadrement de \beta par deux entiers consécutifs  et de donner la valeur de n
Fonction ln

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 18:28

L'équation f(x) = 1 admet une unique solution β dans [1 ; +∞[.
Ensuite, d'après la calculatrice, 5 < β < 6 donc n = 5
Faut-il trouver n algébriquement ou la calculatrice suffit ?

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 18:33

À la calculatrice  vous montrez  que  f(5)>1 et que f(6)<1 donc \beta est compris entre 5 et 6 donc n=5

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 18:46

D'accord, est-ce suffisant comme justification ?

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 18:56

Oui, car vous ne pouvez résoudre l'équation  et vous vous mettez dans les conditions d'application du théorème de la bijection sur cet intervalle

Vous calculez f(5) et f(6)  le premier est supérieur à 1 le second est inférieur à 1    donc \beta est compris entre 5 et 6 c'est bien ce que vous dit le théorème

Posté par
Aldebarran
re : Fonction ln 24-03-21 à 19:03

Merci !

Posté par
hekla
re : Fonction ln 24-03-21 à 19:10

De rien



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