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fonction ln (sujet 1 ex 4 B)

Posté par
Nelcar
28-03-21 à 16:09

Bonjour,
Voici l'exercice B du sujet 1 (exercice 4 au choix entre A et B)

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+[ par :
f(x)= x+4-4ln(x)-3/x
où ln désigne la fonction logarithme népérien
On note C la représentation graphique de F dans un repère orthonormé
1) déterminer la limite de la fonction f en +
2) on admet que la fonction f est dérivable sur ]0;+[ et on note f ' sa fonction dérivée
Démontrer que, pour tout nombre réel x>0 on a :
f '(x)=(x²-4x+3)/x²
3 a) Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[
On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de f en O et en +
On admettra que lim f(x)=-
                          x0
b) par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation f(x)=5/3
4) Etudier la convexité de la fonction f c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle ]0;+[ sur lesquelles f est convexe et celles sur lesquelles f est concave
On justifiera que la courbe C admet un unique point d'inflexion dont on précisera les coordonnées

Voilà ce que j'ai essayé de faire
1)
lim ln(x)= +
x+
lim x+4= +
x+
je ne sais pas quoi faire pour le reste

lim f(x) = +
x+
2) f est dérivale sur  ]0;+[
x  dérivée 1
4ln(x)dérivée 4/x
3/x dérivée -3/x²

donc f '(x)= 1-4/x-(-3/x²) = (x²-4x+3)/x²
3a)
x          0                            1                                                +
f '(x)             +                   0       -
f(x) - flèche montante   2    flèche descendante             +
3b)
je ne sais pas trop comment faire
pour moi je pense qu'il n'y a qu'une solution de l'équation f(x)=5/3
4)
la fonction f est convexe sur ]0; 2,5] et concave sur [2,5 ; + [
la courbe C admet un unique point d'inflexion dont les coordonnées sont (1 ; 2)

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction ln (sujet 1 ex 4 B) 28-03-21 à 16:31

f(x)=x\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4 \ln x}{x}-\dfrac{3}{x^2}\right)

\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty Puisque la parenthèse tend vers 1 lorsque x tend vers +\infty

2 f'(x)=1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}

Remarque la dérivée étant aussi simple on gagne du temps en l'écrivant directement

3) après factorisation (\Delta) et la suite)  f'(x)=\dfrac{(x-1)(x-3)}{x^2}

Signe de f'(x)
fonction ln (sujet 1 ex 4 B)

tableau de variations
fonction ln (sujet 1 ex 4 B)

b) En lisant le tableau de variations l'équation f(x)=\dfrac{5}{3}\approx 1,667 admet 3 solutions

Posté par
hekla
re : fonction ln (sujet 1 ex 4 B) 28-03-21 à 16:51

Remarque :  une fonction ne peut décroître vers +\infty C'est un moyen de contrôle. Il y a donc une erreur quelque part

4 Dérivons f'(x)

 u(x)= x^2-4x+3  \quad u'(x)= 2x-4

v(x) =x^2 \quad v'(x)=2x

 f''(x)=\dfrac{(2x-4)x^2-2x(x^2-4x+3)}{x^4}=\dfrac{4x-6}{x^3}

La dérivée seconde s'annule en x=\dfrac{3}{2}


Si x> 3/2\   f''(x)>0 par conséquent la fonction est convexe sur \left]\dfrac{3}{2}~;~+^infty\right[
Elle est donc concave sur \left]0~;~\dfrac{3}{2}\right[

la courbe représentative de f admet donc en \dfrac{3}{2} un unique point d'inflexion

fonction ln (sujet 1 ex 4 B)
En rouge la tangente au point d'inflexion

Posté par
Nelcar
re : fonction ln (sujet 1 ex 4 B) 28-03-21 à 17:59

tu vois hekla que j'ai beaucoup de mal

pour la question 3 je n'aurai pas pensé de factoriser. Comment faire pour savoir qu'il faut factoriser ?

pour 3 b ) comment vois-tu qu'il y a 3 solutions ?

pour le 4)
il faut toujours calculer la dérivée seconde pour savoir si la courbe est concave ou convexe ?

le point d'inflexion et donc 3/2
quels sont les coordonnées ?  (moi je pense à 3/2;1,9 ?)

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction ln (sujet 1 ex 4 B) 28-03-21 à 18:11

On veut les valeurs qui annulent  comme on n'a pas du premier degré la seule issue est la factorisation

une solution sur chacun des intervalles  j'avais mis une valeur approchée pour bien le montrer

Toujours le bon vieux TVI  en allant de -\infty à 2  on passe bien par \dfrac{5}{3}

sur le second intervalle on descend de 2 à environ 1,60  donc là aussi on passe bien par 5/3 et sur le dernier  on va de 1,60 à +\infty  donc on passe bien aussi par 5/3

donc 3 solutions

Oui, c'est la définition  une fonction est convexe sur I si pour tout x\in I\  f''(x) \geqslant 0

Point d'inflexion (3/2 ; \approx 1,8784) en valeur exacte 4\ln (2/3)+7/2

Posté par
Nelcar
re : fonction ln (sujet 1 ex 4 B) 28-03-21 à 18:26

ok hekla

je ne me rappelai plus qu'il fallait faire la dérivée seconde, ça revient.

MERCI BEAUCOUP



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