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fonction logarithme
Bonjour ,
J'ai un devoir maison mais je suis bloqué sur les deux dernières questions, j'espère que vous pourrez m'aider, je vous remercie d'avance pour votre soutien.
Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0;1] par f(x)= 1+ xlnx
On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle ]0;1]
C est la courbe représentative de la fonction f dans un repère othonormal (0; i , j )
T est la droite d'équation y =x
La courbe C est la droite T sont représentées sur le schéma ci-dessus.
1)a) Justifier que limf(x) = 1
x
0
limx=0
x0
limlnx=-
x0
d'où lim1+ xlnx =1
x0
b) En utilisant le signe de xlnx sur ]0;1] montrer que pour tout nombre réel x 
]0;1], on a f(x) 
1
pour tout nombre réel x ]0;1] : x>0
: lnx0
: xlnx0
: 1+ xlnx 1
Donc f(x)1 sur l'intervalle ]0;1]
2)a) Calculer f'(x) pour tout nombre réel x ]0;1]
f(x) = 1+ xlnx
f'(x) = 1* lnx + x* 1/x
f'(x) = lnx + 1
b) Vérifier que la droite T est la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1
T1 = y =f'(1)* (x-1) + f(1)
=1 (x-1) + 1
= x- 1+1
y = x
J'ai fait cette calcule mais je sais pas si ça prouve bien ?
3)On notre g la fonction définie pour tout nombre réel x ]0;1] par g(x) = 1+ xlnx -x
a) Etudier les variations de g sur l'intervalle ]0;1] et dresser le tableau de variation de g. On ne cherchera pas la limite de g en O
g'(x) = 1* lnx + x* 1/x -1
g'(x) = lnx + 1- 1
g'(x) = lnx
| x | 0 1 |
| g'(x) |  - |
| g(x) | décroissante 0 |
b) En déduire les positions relatives de la courbe C au point d'abscisse 1 .
Sur l'inervale ]0;1] 1+ lnx - x
0
donc 1+lnx
x
On en deduit que C est au dessus de T et il y a une intersection de C et de T au point d'abscisse 1.
4) Soit
un nombre réel tel que 0< < 1 . On pose I() = 
(1 et ) [1- f(x)] dx
a) Soit h la fonction définie sur ]0;1] par h(x) = -x2/2 * lnx + x2/4 . Calculer sa fonction dérivée, en déduire I(
) .
h'(x)= -2x/2 * lnx + (-x2/2) * 1/x + 2x/4
h'(x)= -xlnx - x2/2x + x/2
h'(x)= -xlnx - x/2 + x/2
h'(x)= -xlnx
or On sait que f'(x) = lnx +1 donc h''(x) = -lnx -1
donc I(
) = (1 )[1-(lnx+1)]dx
=
(1 )[1-lnx-1 ]dx
=
(1 )[-lnx ]dx
I(
) = [x-xlnx](1 ) = 1-1*ln1 - ( - *ln)
I(
) = 1 - + ln
b) Déterminer limI(
)
0
lim -
=0
0
lim
=0
0
limln
=-
0
d'où lim
ln=0
0
donc lim I(
) = 1
0
c)Interpréter graphiquement le résultat précédent.
d) A l'aide des résultats précédents, déterminer, en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe C, la droite T et l'axe des ordonnées .
1.a) Il me semble que tu n'as pas levé l'indétermination.
Tu pourrais poser x = 1/t , t tendant vers + oo .
Bonjour,
1a)
Je suppose que tu as vu en cours la levée de l'indétermination limite de xln(x) quand x tend vers 0.
Tu cites le résultat (0) d'où lim f(x)=1.
1b)
Ok
2a)
Ok
2b)
Oui : tu as démontré que l'équation de la tangente en (1;1) était y=x
Tu aurais pu faire "l'inverse"
Dire que y=x passait par (1;1) comme f(x) et que f'(1)=1 cief. dir de y=x
mais, je ne pense pas qu'on puisse te critiquer si tu expliques un peu ce que tu fais.
3a)
Ok
3b)
Ok, mais évite "intersection"!
4a)
Ok pour la dérivée h '(x)
1-f(x)= -xln(x)= h'(x)
donc l'intégrale I()=h()-h(1)
je crois que tu t'es trompé !
Bonjour,
Si je fait soit x = 1/t ,
ça me donne lim 1/t= 0
t0
et limln1/t = +
t0
Et ça revient à la même chose non ? 
1 + xln x = 1 + ln(1/t)/t = 1 - lnt/t.
La limite en + oo de lnt/t , qui est 0 , me paraissait plus connue que la limite en 0 de xlnx .
Oui , je viens de retrouver la limlnx/ x lors que x tend vers +00 est 0 donc sur ]0;1] ça tend vers 1 c'est 0
Pour le 4)a) 1- f(x) moi je trouve 1- 1+xlnx = xlnx et non -xlnx comment vous avez reussit à trouver -xlnx ?
Je trouve 4)a)
I() = (1 et ) [1-f(x)] dx
I() = (1 et ) [1-(1+xlnx)] dx
I(] = (1 et ) [h'(x)] dx
I() = (1 et ) [-xlnx] dx
I() = h(1) - h()
I() = -1ln1 - (-ln)
I() = ln
4)b) lim=0
0
limln= -
0
D'où limI() = 0
0
Est-ce que c'est bon ? Et pouvez vous m'aider s'il vous plait pour le 4)c) et d)
Bonjour,
4a)
tu vois que 1-f(x)=1-[1+xln(x)]=-xln(x)= h ' (x)
Si la fonction à intégrer est égale à h ' (x), h(x) est une primitive, donc l'intégrale vaut h(borne sup) - h(borne inf). J'avais pensé que 1 était en bas et en haut, mais je ne suis pas sûr....difficile à te lire .
Et h(x)= -x²/2 * lnx + x²/4 , ce que tu as perdu de vue, je le crains .
Non la borne supérieur est 1 et inférieur c'est
donc I() = [h(x)](sup1 inf )
= (12/2) * ln1 +(1/4) -((-2/2) * ln +(2/4))
= (1/4) + (2* ln)/2 - (2/4)
ça me donne ce résultat est-ce que c'est bon ? Ou je continue avec :
I()= (1/4) + (22 * ln)/4 -(2/4)
= (1/4) + (2(2 *ln - 1)/4
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