bonsoir,

1) ok

2) ok à démontrer
3) propriété de la partie entière:
Pour tout réel x, E(x) <= x < x+1 et  x-1 < E(x) <= x
on écrit les deux encadrements :

x+1-1<E(x+1)x+1<=>x<E(x+1)<=x+1 (a)

et x-1<E(x)<=x. On multiplie par -1 => -x+1>-E(x)>=-x <=> -x<=-E(x)<-x+1 (b)

En additionnant (a) et (b), x-x<E(x+1)-E(x)<=x+1-x+1<=>0<E(x+1)-E(x)<2

Le nombre E(x+1)-E(x) est donc un entier (somme de deux entiers) strictement compris entre 0 et 2.
Seul 1 est solution, et ainsi E(x+1)-E(x)=1<=>E(x+1)=E(x)+1

4) périodique de période 2: h(x + 2k) =  h(x) pour k=1,...,n
on peut se limiter à k=1 car 2 est la plus petite période.
donc montrer que h(x+2) = h(x)

bonsoir merci de votre réponse; mais je n arrive pas a montrer que f(x) = (-1) puissance E(x) est impaire; je l ai ocnjecturé graphiquement, est ce que je dois faire deux cas ? E(x)paire et E(x) impaire ?

oui, c'est une bonne piste.

merci j y suis arrivé en faisant ainsi; par contre je ne m en sors pas avec h(x+2) = h(x)
h est trop compliquée pour moi alors pouvez vous m aider ?

h(x)=  E (  x - 2 E( x/2) )
h(x+2)=  E (  (x+2) - 2 E( (x+2)/2) )
= E ( (x+2) - 2 E( (x/2) + 1))
= E ( (x+2) - 2 E(x/2) - 2) (d'après 3 E(x+1)=E(x)+1)
= E ( x - 2 E(x/2) ) = h(x)

merci beaucoup.