Bonjour,

f(x) = 5
x²-4x+5 = 5
x²-4x = 0

Et à partir de là, on essaye de factoriser (c'est facile).
Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si ......

Tu en déduis alors deux solutions x1 et x2 de ton équation (qu'on place sur la parabole)... et ces solutions sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie de ta parabole.
Autrement dit, l'axe de symétrie est la droite d'équation x=(x1+x2)/2 (droite verticale).

Pour le sommet de la parabole, tu sais que c'est le point d'intersection de la parabole et de l'axe de symétrie... il faut donc poser l'équation qui retranscrit cela, et essayer de la résoudre en utilisant la même méthode qu'à la question 1 (penser aux identités remarquables...).

Pour la question 4, essaye de tracer la courbe, de conjecturer quelque chose...

Apres la factorisation , j'ai obtenu x²-4x= x(x-4)
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul . Or je ne connais pas la valeur de x et je ne pas affirmer si il est nul ou non ...

Oui, mais ici tu cherches à résoudre l'équation.
Autrement dit, tu cherches les valeurs de x pour lesquelles l'égalité est vérifiée.

Les solutions de l'équation sont donc 0 et 4 (quand x=4, x-4=0 et donc le produit est bien nul également).

Cela ne veut pas nécessairement dire que x est égal à 0 ou 4... mais cela veut dire que si f(x) est égal à 5, alors nécessairement x est égal à 0 ou x est égal à 4.

(Et la réciproque est évidemment vraie aussi : si x=0 ou x=4, alors f(x) est égal à 5...)

Merci je viens de comprendre .
Donc 0 serait mon x1 et 4 mon x2. Don , l'axe de symétrie = (x1 + x2)/2 = (0 + 4)/2 = 2. Donc l'axe de symétrie est 2 . Est ce juste ?

Oui, sauf que l'axe de symétrie est une droite, donc ça n'est pas « 2 » mais « la droite d'équation x=2 » (qui est donc une droite verticale, ici on a x=... et non y=... comme on le trouve plus généralement).

Donc du coup, oublie ce que j'ai dit pour trouver le sommet de la parabole, ce n'est plus si simple que ça...

Remarque plutôt que f(x) = x²-4x+4 + 1, où x²-4x+4 peut se factoriser (et là, oui, penser aux identités remarquables). Tu trouveras dès lors une forme plus sympathique pour déterminer les coordonnées du sommet de la parabole (qui coïncide avec le minimum de la fonction).

J'ai factorisé x²-4x+4 et j'ai obtenu (x-2)².
Que dois-je faire ensuite ?

OK. On a donc f(x) = (x-2)²+1.

À partir de là, comme on sait qu'un carré est toujours positif, on sait que f(x) sera toujours plus grand que 1.
Autrement dit, le minimum de la fonction est 1, et il est atteint quand (x-2)²=0, autrement dit quand x=2.

Conclusion : le sommet de la parabole est le point de coordonnées .....

[2;0] ? Puisque f(x)>0 donc le sommet correspond au point le plus bas ..

Ça ne peut pas être (2;0) puisque ça n'est même pas un point de la courbe (si tu calcules f(2), ça donne 1).

Mais si tu voulais écrire (2;1), oui, en effet, c'est bien ça...
(Le minimum de la fonction est 1, ce qui correspond à l'ordonnée du sommet... et ce minimum est atteint pour x=2, ce qui correspond à l'abscisse du sommet).

Ah oui pardon , j'ai pas fait attention .
Je n'ai pas compris comment faire la 4.a)

Bah en fait, on a un peu répondu à cette question avec la question précédente.
En effet, on a vu que ys=1 était le minimum de la fonction f... autrement dit, quelque soit le nombre qu'on considère, son image par f sera-t-elle plus grande ou plus petite que 1 ?

Elle sera plus petite puisque 1 est le sommet ?

Dans ce cas, 1 ne serait pas le minimum, non ?

Essaye de regarder à quoi ressemble la courbe de notre fonction si ça peut t'aider.

Oui , puisque a >0 , la parabole est en "u", donc n'importe quel autre nombre serait supérieur à 1 (ys)

Oui, c'est mieux (en lisant « l'image de n'importe quel autre nombre »).

D'accord , et quels expressions dois-je mettre dans le tableau de variation ormis x²-4x+4 ?

Tu as juste à construire le tableau de variations de f, donc oui, tu as juste à mettre « f » dans la première colonne (et « x » pour pouvoir se repérer sur le tableau, évidemment ).

Ensuite, pour le construire proprement dit, tu utilises le fait que la fonction est en « u », avec les coordonnées du minimum qu'on a déterminées...

Merci , je viens de le fairex²-4x+4
Pour en revenir à la question 3. , ils demandent de déterminer les coordonnées de xs et ys avec aussi -x²-4x+5.
Comment dois -je procex²-4x+4der ? x²-4x+4

Tu parles de x²-4x+5 ?
Si c'est le cas, alors en fait les coordonnées qu'on a calculées sont les coordonnées du sommet de f (et pas de x²-4x+4). Et donc idem pour les variations (il suffit de rajouter 1, donc en fait les variations sont les mêmes...).

Si tu parles de -x²-4x+5, on peut remarquer que -x²-4x+5 = -(x²+4x-5) = -(x²+4x+4-9) = -[(x+2)²-9] = -(x+2)²+9.
D'où on constate que le maximum (ici, c'est un maximum) est ......, atteint pour x = ....

Oui , je parlais de -x²-4x+5.Le maximum est 9 , il est atteint pour x= -2 ?

Oui, c'est ça.

D'accord merci .
Une derniere chose , comment avez vous fait pour trouver la droite d'equation ( dans mon cours on me dit la droite d'equation = x= beta) ?

x=a PARDON

Désolé pour la réponse tardive.

Tu sais que ta parabole admet un axe de symétrie vertical.
Ainsi, si tu traces une droite parallèle à l'axe des abscisses, et que tu regardes les points d'intersection de cette droite avec la parabole (ce qui revient à résoudre l'équation f(x)=..., les deux points d'intersection que tu trouves doivent également être symétriques par rapport à cette axe de symétrie.

Autrement dit, l'axe de symétrie passe par le milieu de ces deux points d'intersection...

Ça correspond au dessin suivant :