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Fonction qui n'est pas de limite infinie

Posté par
Milka3 28-06-21 à 09:50

Bonjour,
dans un exercice il fallait montrer que la fonction f(x)=\frac{-1}{x^2}(1+cos(\frac{1}{x})) n'est pas de limite infinie en 0.
Le correcteur propose d'écrire que f(\frac{1}{(2n+1)\pi})=0. Je n'arrive pas à comprendre pourquoi cela le justifie.

J'ai pensé à revenir à la définition :
\lim_{x\to 0} f(x)=+\infty
\Leftrightarrow
\forall M\in\mathbb{R}\,,\exists\alpha>0\,,\mid x\mid <0 \Rightarrow f(x)>M

Mais j'ai l'impression que quelque chose m'échappe. Pouvez-vous m'aidez ?
D'avance merci

Posté par
carpediemre : Fonction qui n'est pas de limite infinie 28-06-21 à 10:11

salut

il est faux que l'image de 1/(2n + 1) par f est nulle ...

je t'invite à calculer proprement son image et à vérifier pourquoi cela suffit ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction qui n'est pas de limite infinie 28-06-21 à 12:16

Bonjour,
Il y a une coquille dans \; \forall M\in\mathbb{R}\,,\exists\alpha>0\,,\mid x\mid <0 \Rightarrow f(x)>M .
Plus précisément dans \; \mid x\mid <0 \;

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction qui n'est pas de limite infinie 28-06-21 à 12:23

Citation :
il est faux que l'image de 1/(2n + 1) par f est nulle ...
Si n n'est pas entier ?

Posté par
Milka3re : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 09:39

Bonjour,
ah oui, il y a une erreur dans mon raisonnement.

\forall M\in\mathbb{R}\,,\exists\alpha>0\,,\mid x\mid <\alpha \Rightarrow f(x)>M

Posté par
Milka3re : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 09:42

Oups, j'ai envoyé trop vite.
La négation de cette proposition consiste à écrire :

\exists M\in\mathbb{R}\,,\forall\alpha>0, \mid x\mid<\alpha et f(x)<M

Suis-je sur la bonne voie ?

Posté par
GBZMre : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 09:49

Bonjour,

La formule que tu écris ne va pas parce que tu oublies la quantification sur x.

Posté par
Milka3re : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 09:54

Ah oui, je reprends :
\forall M\in\mathbb{R}\,,\exists\alpha>0\,,\forall x\in I\,,\mid x\mid <\alpha \Rightarrow f(x)>M

Sa négation :
\exists M\in\mathbb{R}\,,\forall\alpha>0\,,\exists x\in I\,,\mid x\mid <\alpha\,\,et\,\,f(x)<M

Posté par
GBZMre : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 10:07

C'est ça, sauf un détail : la négation de f(x) > M n'est pas f(x) < M. Si tu as des difficultés pour coder \leq en Latex, c'est \leq (et \geq pour \geq, en anglais less or equal et greater or equal).

Posté par
matheuxmatoure : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 10:29

bonjour

juste pour compléter le dernier message de GBZM, pour avoir des symboles plus proches de l'écriture manuscrite en LaTeX : \leqslant et \geqslant

\leqslant et \geqslant

Posté par
Milka3re : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 10:36

Je vois !
Je dois donc trouver un M\in\mathbb{R} et un x\in I ?

D'où l'idée de prendre, par exemple, M=1 et x=\frac{1}{(2n+1)\pi} ?

Ainsi, on a bien f(x)\leq M.

Posté par
GBZMre : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 11:27

Oui.

Une manière de voir les choses que je trouve assez éclairante, c'est de voir la démonstration de

\exists M\in\mathbb{R}\,,\forall\alpha>0\,,\exists x\in I\,,\mid x\mid <\alpha\text{ et }f(x)\leq M

comme un jeu entre toi (le gentil) qui veut démontrer l'énoncé et le méchant sceptique qui essaie de  t'en empêcher. Le gentil toi joue les "il existe" et le méchant sceptique joue les "pour tous".
Tu commences par jouer M=1.  Le sceptique te joue un \alpha très très petit. Et toi alors, tu sors de ta manche  le x= \dfrac1{(2n+1)\pi} avec l'entier n suffisamment grand pour que \dfrac1{(2n+1)\pi} < \alpha. Le sceptique est alors échec et mat.

Posté par
Milka3re : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 14:39

Super, c'est très clair et j'ai bien ri !

Le fait qu'il existe un entier n tel que \frac{1}{(2n+1)\pi}<\alpha provient du fait que \mathbb{R} est archimédien.

Me trompe-je ?

Posté par
GBZMre : Fonction qui n'est pas de limite infinie 30-06-21 à 15:01

Non, tu ne te trompes pas.

Posté par
Milka3re : Fonction qui n'est pas de limite infinie 01-07-21 à 10:07

Merci beaucoup !

Posté par
GBZMre : Fonction qui n'est pas de limite infinie 01-07-21 à 10:58

Avec plaisir.


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