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Fonction Racine n ième

Posté par
Mathes1 04-11-20 à 11:38

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
calculer les limites suivantes
1)• \lim_{x\to +\infty}\sqrt[n]{8x^3 +x}-2x
2)•\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x²+1}-\sqrt[3]{x²+1}
3)•\lim_{x\to 0 } \dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt[4]{x+1}-1}
4)•\lim_{x\to 2} \dfrac{\sqrt[3]{x+6}-\sqrt{x+2}}{x-2}
5)•\lim_{x\to 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{sin(x)}
6)•\lim_{x\to 2} \dfrac{\sqrt[3]{2x-3}-\sqrt[3]{3x-5}}{\sqrt{7x+2}-\sqrt{5x+6}}
Merci beaucoup d'avance
Franchement , je ne sais pas par quoi commencer est ce je dois faire un taux de variation pour la 1er limite en multipliant par (\sqrt[3]{8x³+x}+2x) en obtient une identité remarquable  et puis en factoriser par x et en simplifier ?
Merci beaucoup d'avance

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction Racine n ième 04-11-20 à 12:11

Bonjour,
pour la 1) tu as marqué n mais je comprends qu'en fait n=3 ?

il faut se débarrasser le la racine cubique du numérateur, moi j'aurais utilisé la relation :
a3-b3 = (a-b)(a²+ab+b²)

en remplaçant le a-b du numérateur par (a3-b3)/(a²+ab+b²)

et puis après seulement mettre x en facteur en haut et en bas et simplifier, ça ne sera plus indéterminé.

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction Racine n ième 04-11-20 à 12:24

Pour la 2), astuce : mets (x²+1)1/3 en facteur

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 04-11-20 à 12:53

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
Alors c'est comme ça
\dfrac{\sqrt[3]{(8x³+x})³-(2x)³}{\sqrt[3]{8x³+x}² +\sqrt[3]{8x³+x}*2x*(2x)²}
=\dfrac{8x³+x-8x³}{\left(\sqrt[3]{x³(8+\dfrac{1}{x²})}\right)²+\sqrt[3]{x³(8+\dfrac{1}{x²})}×2x+4x²}
=\dfrac{x}{x²\left(\sqrt[3]{8+\dfrac{1}{x²}} \right)² +x\left( \sqrt{8+\dfrac{1}{x²}}\right)*2x+4x²}
=\dfrac{1}{x(\sqrt[3]{(8+\dfrac{1}{x²})²}+2\sqrt{8+\dfrac{1}{x²}}+4}
Merci beaucoup

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction Racine n ième 04-11-20 à 13:00

oui OK.
et donc à l'infini ça tend vers 0.

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 04-11-20 à 13:00

J'ai trouvé enfin pour la 1er 0
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 13:32

Bonjour à tous
Je suis tellement désolé j'ai pas continue
Pour la 2) factorisation
\sqrt[3]{x²+1} \left(\sqrt[6]{x²+1} -1\right)
Ensuite je fais la conjugué de \left(\sqrt[6]{x²+1} -1\right)
?
Merci beaucoup d'avance

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 13:51

non pas besoin, vers quoi tend chaque terme de ce produit ?

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 18:33

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
\lim_{x \to +\infty } \sqrt[3]{x²+1} ×\lim_{x \to +\infty } \left(\sqrt[6]{x²+1} -1\right)=[+\infty]×[+\infty]=+\infty
Merci beaucoup
Une petite indications s'il vous plaît pour la troisième merci beaucoup d'avance est ce que je dois faire la conjugué en numérateur et dénominateur .
Merci beaucoup

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 19:07

les conjugués c'est quand il y a des racines carrée, mais là elles sont cubique et quatrième.
Pour la troisième, je te conseillerais plutôt :
pour le numérateur qui a une racine cubique, je ferais le même coup que l'on a fait à la 1) c.a.d transformer
le (a-b) en (a3-b3)/(a²+ab+b²)

pour le dénominateur, il y a une racine quatrième ce qui donne envie de transformer le a-b en
un a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)
et donc remplacer le a-b par (a4-b4)/((a+b)(a²+b²))

ça devrait lever l'indétermination une fois simplifié x au numérateur et dénominateur.

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 20:15

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
\dfrac{\dfrac{(\sqrt[3]{x+1})³-1³}{(\sqrt[3]{x+1})²+\sqrt[3]{x+1}+1²}}{\dfrac{(\sqrt[4]{x+1})^4-1^4 }{(\sqrt[4]{x+1}+1)(\sqrt[4]{x+1)²}+1)}}=\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt[3]{x+1})²+\sqrt[3]{x+1}+1²}}{\dfrac{x}{(\sqrt[4]{x+1}+1)(\sqrt[4]{x+1})²+1)}}=\dfrac{(\sqrt[4]{x+1}+1)(\sqrt[4]{x+1})²+1)}{\sqrt[3]{x+1})²+\sqrt[3]{x+1}+1²}=\dfrac{4}{3}
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 20:18

Une petite indication s'il vous plaît pour la 4 ème Merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 20:32

salut

\sqrt[3]{x + 6} - \sqrt {x + 2} = \sqrt[3]{x + 6} - \sqrt[3]{2 + 6} + \sqrt {2 + 2} - \sqrt{x + 2}

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 20:53

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
Franchement je ne comprends pas votre indice
Merci beaucoup

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 20:58

il te fait apparaître une somme de deux accroissements.

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 21:04

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
Je fais comme la première ?
x-2=(\sqrt[3]{x-2})³

Posté par
carpediemre : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 21:38

ben non !!

tu révises ce qu'est un taux d'accroissement ...

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 22:57

Bonjour
J'ai enfin compris votre méthode , merci beaucoup à tous !
\dfrac{\sqrt[3]{x+6}}{x-2}-\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-2}=\dfrac{\sqrt[3]{x+6}-\sqrt[3]{8}}{x-2}-\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{4}}{x-2}
On transforme la 1er expression
\dfrac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x-2}=\dfrac{(\sqrt[3]{x+6}-2)((\sqrt[3]{x+6})²+2\sqrt[3]{x+6}+4)}{(x-2)((\sqrt[3]{x+6})²+2\sqrt[3]{x+6}+4)}=\dfrac{x-2}{(x-2)((\sqrt[3]{x+6})²+2\sqrt[3]{x+6}+4}=\dfrac{1}{((\sqrt[3]{x+6})²+2\sqrt[3]{x+6}+4}
En calculons ça limite en 2 : je trouve 1/12
Ensuite en calcul la limite de second expression
\dfrac{[\sqrt{x+2}-\sqrt 4]}{x-2}=\dfrac{[\sqrt{x+2}-\sqrt 4][\sqrt{x+2}+\sqrt 4]}{(x-2)[\sqrt{x+2}+\sqrt 4]}=\dfrac{x+2-4}{(x-2)[\sqrt{x+2}+\sqrt 4]}=\dfrac{(x-2)}{(x-2)[\sqrt{x+2}+\sqrt 4]}=\dfrac{1}{[\sqrt{x+2}+\sqrt 4]}=\dfrac{1}{4}
finalement
\lim_{x\to 2} \dfrac{\sqrt[3]{x+6}-\sqrt{x+2}}{x-2}=\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{4}\dfrac{-1}{6}

Merci beaucoup
Une petite indication s'il vous plaît pour la 5eme merci beaucoup d'avance

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 23:01

Rectification

Citation :
finalement
\lim_{x\to 2} \dfrac{\sqrt[3]{x+6}-\sqrt{x+2}}{x-2}=\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{4}\red{=}\dfrac{-1}{6}

Citation :

En calculons sa limite en 2 : je trouve 1/12

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction Racine n ième 05-11-20 à 23:52

tu n'as pas vraiment utilisé le principe du taux d'accroissement.
l'idée c'est que (f(x) - f(2))/(x-2) tend vers f'(2) quand x tend vers 2

donc par exemple \dfrac{\sqrt[3]{x+6}-\sqrt[3]{8}}{x-2} tend vers la dérivée de \sqrt[3]{x+6} en 2
or la dérivée de (x+6)1/3 est (1/3) (x+6)-2/3 et donc en 2 ça vaut (1/3)8-2/3 = 1/12

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 06-11-20 à 09:12

Bonjour à tous
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Est ce que c'est juste ma méthode?
il faut juste appliqué la transformation
Pour la 5)
\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{sin(x)}=\dfrac{\dfrac{(\sqrt[3]{x+1})³-1}{(\sqrt[3]{x+1})²+\sqrt[3]{x+1}+1²}}{\dfrac{sin(x)}{x}×x}=\dfrac{\dfrac{x}{(\sqrt[3]{x+1})²+\sqrt[3]{x+1}+1}}{\dfrac{sin (x)}{x}×x}=\dfrac{x}{(\sqrt[3]{x+1})²+\sqrt[3]{x+1}+1²}×\dfrac{1}{\dfrac{sin(x)}{x}×x}=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x+1})²+\sqrt[3]{x+1}+1²}×\dfrac{1}{\dfrac{sin(x)}{x}}=\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{3}
D'où \red{\boxed{\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{sin(x)}=\dfrac{1}{3}}}
Merci beaucoup
une petite indication s'il vous plaît pour la 6 ème limite merci beaucoup d'avance

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction Racine n ième 06-11-20 à 10:55

C'est bien la 5) mais ici encore tu aurais gagné du temps avec les accroissements

\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{sin(x)}=\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}.\dfrac{x}{sin(x)}

on sait que sin(x)/x tend vers 1 et pour le premier facteur c'est l'accroissement de la fonction (1+x)1/3 qui a pour dérivée (1/3)(1+x)-2/3 et donc le tout tend vers f'(0)=1/3

Pour la 6) la même astuce que pour la 3) devrait marcher a-b = (a3-b3)/(a²+ab+b²) au numérateur
et a-b = (a²-b²)/(a+b) pour le dénominateur.

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 06-11-20 à 11:46

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
6)•\lim_{x\to 2} \dfrac{\sqrt[3]{2x-3}-\sqrt[3]{3x-5}}{\sqrt{7x+2}-\sqrt{5x+6}}
Transformation :
\dfrac{\dfrac{(\sqrt[3]{2x-3})²-(\sqrt[3]{3x-5})²}{(\sqrt[3]{2x-3})²+\sqrt[3]{(2x-3)(3x-5)}+(\sqrt[3]{3x-5})²}}{\dfrac{(\sqrt{7x+2})²-(\sqrt{5x+6})²}{\sqrt{7x+2}+\sqrt{5x+6}}}=\dfrac{\dfrac{-x+2}{(\sqrt[3]{2x-3})²+\sqrt[3]{(2x-3)(3x-5)}+(\sqrt[3]{3x-5})²}}{\dfrac{2x-4}{\sqrt{7x+2}+\sqrt{5x+6}}}=\dfrac{-(x-2)}{(\sqrt[3]{2x-3})²+\sqrt[3]{(2x-3)(3x-5)}+(\sqrt[3]{3x-5})²}×\dfrac{\sqrt{7x+2}+\sqrt{5x+6}}{2(x-2)}=\dfrac{-1}{(\sqrt[3]{2x-3})²+\sqrt[3]{(2x-3)(3x-5)}+(\sqrt[3]{3x-5})²}×\dfrac{\sqrt{7x+2}+\sqrt{5x+6}}{2}=\dfrac{-1}{3}×4=\dfrac{-4}{3}
D'où
6)•\blue{\boxed{\lim_{x\to 2} \dfrac{\sqrt[3]{2x-3}-\sqrt[3]{3x-5}}{\sqrt{7x+2}-\sqrt{5x+6}}=\dfrac{-4}{3}}}
Merci beaucoup
Bonne journée

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 06-11-20 à 11:51

Citation :
Je suis tellement désolé un erreur
\dfrac{\red\dfrac{(\sqrt[3]{2x-3})\red{³}-(\sqrt[3]{3x-5})\grey{³}}{(\sqrt[3]{2x-3})²+\sqrt[3]{(2x-3)(3x-5)}+(\sqrt[3]{3x-5})²}}{\dfrac{(\sqrt{7x+2})²-(\sqrt{5x+6})²}{\sqrt{7x+2}+\sqrt{5x+6}}}

Posté par
Glapion Moderateurre : Fonction Racine n ième 06-11-20 à 12:53

oui -4/3 c'est bon.
Bravo, tu te débrouilles vraiment bien dans les calculs .

Posté par
Mathes1re : Fonction Racine n ième 06-11-20 à 13:02

Bonjour
Merci énormément à vous !
Bonne journée


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