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Fonction Réciproque 1'

Posté par
Mathes1 25-10-20 à 14:50

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f-1 définie sur un intervalle J à déterminer puis déterminer une expression de f-1 (x) pour x J:
• f(x)=x2-2x+5 et I=[1;+ [
•f(x)= 4x-x2 et I=]- ; 2[
• f(x)=\sqrt{x²-x} - x et I=[0;+ [
• f(x)=\dfrac{x}{x²+2} et I=[0;\sqrt 2 ]
alors je propose
• f(x)=x2 -2x +5 et I=[1;+[
*La fonction f étant continue et dérivable sur I car c'est une fonction polynomial . Et on a pour tout x I
f '(x)=2x-2 , il s'ensuit donc que ( x I ) f ' (x)>0
(D'après le tableau de variation)
Fonction Réciproque 1\'
*Puisque la fonction f est continue et strictement croissante sur I ,alors elle admet une fonction réciproque définie sur l'intervalle J=f(I) avec
J=f(I)=[f(1);\lim_{x\to + \infty} f [ =[4;+[
*Détermination de f-1 pour tout xJ
Soit xJ et yI tel que y=f-1 (x)
On a y=f-1 <=> x=f(y) <=> y2 -2y+5 =x
<=> y2-2y+5-x=0
Le discriminant de cette équation d'inconnu y est :
∆=[-2]2-4×[5-x]=4x+4-20=4x-16
*x y <=> x≥1
<=> 4x≥4<=>4x+4≥0<=>4x+4-20≥-20 [-20<0)
Donc l'équation y2-2y+5-x=0 n'admet pas une solution
D'où cette fonction n'a pas de fonction réciproque.
Merci beaucoup d'avance

Posté par
pgeodre : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 15:02

Pour trouver f-1, écris y sous la forme y = (x - a)² + b

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 15:08

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
f-1=[x-1]2-2
Et est ce que  mes propositions sont juste ?
Merci beaucoup

Posté par
pgeodre : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 15:14

??
f-1 existe.
Ecris y sous la forme y = (x - a)² + b
Exprime x =... fonction de y d'où f-1

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 15:19

y=[x-1]²-2
y=x²-2x+1-2=x²-2x-1

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 15:33

Bonjour
En faite nous avons pas vu cette méthode de

Citation :
y = (x - a)² + b

Mais la seul méthode que nous avons vu est celle que j'ai écrit en haut
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 16:37

Bonjour

Il y a quelqu'un ?
Merci beaucoup

Posté par
heklare : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 17:06

Bonjour

Sur I ,\ f'(x) est positive,   strictement  sur l'intervalle ]1~;~+\infty[

Cela ne change pas grand-chose puisque la dérivée  est nulle en un point isolé.

Vous avez  y=x^2-2x+5 que l'on peut écrire sous forme canonique y=(x-1)^2+4

Vous voulez résoudre cette équation en x

donc y-4=(x-1)^2 ou  x-1=\pm\sqrt{y-4} à vérifier les conditions d'existence

par suite x=


Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 17:10

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu !

Citation :
On a y=f^-1 <=> x=f(y) <=> y2-2y+5 =x
<=> y2-2y+5-x=0

Ce n'est pas ce que j'ai écrit en haut

Posté par
heklare : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 17:28

Faudrait être plus clair

Vous dites qu'elle a tout pour avoir une fonction réciproque et ensuite  qu'il n'y en a pas !

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 17:33

Bonjour
x-1=\pm\sqrt{y-4}
=> x=\sqrt{y-4}+1

x=\sqrt{y-4}+1 est positive
Et x=x=-\sqrt{y-4}+1 est négative

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 17:55

Posté par
heklare : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 17:59

Vous avez x\in [-1~;~+\infty[   et y \in [4\~;~+\infty[

on a y=(x-1)^2+4  soit  y-4=(x-1)^2

x-1=|\sqrt{y-4}| d'où x= 1+|\sqrt{y-4}|

f^{-1} \ \text{est la fonction  } \ x\mapsto 1+|\sqrt{x-4}|

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 18:26

Pour la deuxième
x=f(y)<=> x=4y-y2 <=> y2-4y-x=0
Le discriminant est :
∆=[-4]2-4×1×-x=4x+16>0
Puisque ∆>0 alors l'équation y2-4y-x=0 admet deux solutions
y1=\dfrac{4-\sqrt{4x+16}}{2}=2-\sqrt{4+x}
y2=\dfrac{4+\sqrt{16+4x}}{2}=2+\sqrt{4+x}

Posté par
heklare : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 18:48

Toujours aussi peu clair

  on a une fonction f qui à x associe 4x-x^2 soit  y=f(x)

On cherche donc la fonction g  telle que g(y)=x on la notera par la suite f^{-1}

les vérifications étant faites la fonction f admet une fonction réciproque  de ]-\infty~;~4] \ \text{sur }\  ]-\infty~;~2]

y=4x-x^2=-(x-2)^2+4 d'où (x-2)^2=4-y  

x=2+|\sqrt{4-y}|

f^{-1} \ \text{est la fonction  } \ x\mapsto 2+|\sqrt{4-x}|

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 19:26

Bonjour
Pour la 3ème je trouve
f-1(x)=\dfrac{-x²}{1+2x}

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 20:13

En revanche , je ne comprends pas comment faire pour la dernière
Une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
heklare : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 20:49

vérification préalable  dérivée positive   fonction strictement croissante de [0~;~\sqrt{2}] sur \left[0~;~\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right] \\

y=\dfrac{x}{x^2+2}

y(x^2+2)=x  ou yx^2-x+2y=0

Posté par
heklare : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 20:54

erreur de lancement

\Delta=1-8y^2\ \Delta>0 car 8y^2<8\times \dfrac{1}{8}

x=\dfrac{1\pm \sqrt{1-8y^2}}{2y}

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 20:58

salut,

hekla @ 25-10-2020 à 18:48


les vérifications étant faites la fonction f admet une fonction réciproque  de ]-\infty~;~4] \ \text{sur }\  ]-\infty~;~2]

y=4x-x^2=-(x-2)^2+4 d'où (x-2)^2=4-y  

x=2+|\sqrt{4-y}| A quoi sert cette valeur absolue ?

f^{-1} \ \text{est la fonction  } \ x\mapsto 2+|\sqrt{4-x}| non x<=2

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 21:00

Bonjour

Citation :
vérification préalable  dérivée positive   fonction strictement croissante de [0~;~\sqrt{2}] sur \left[0~;~\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right]
oui j'ai trouvé le même résultat


y=\dfrac{x}{x^2+2}

y(x^2+2)=x  ou yx^2-x+2y=0  j'ai trouvé ça mais je bloque exactement ici

J'ai beaucoup essayer de trouver mais en vain
x=\dfrac{-2y}{yx-1}
Merci beaucoup d'avance

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 21:14

Citation :


\Delta=1-8y^2\ \Delta>0 car 8y^2<8\times \dfrac{1}{8} je trouve la même chose

x=\dfrac{1\pm \sqrt{1-8y^2}}{2y}

je ne trouve pas ça du tout
x1=\dfrac{-1+\sqrt{1-8y²}}{2y}
Ou x2=\dfrac{-1-\sqrt{1-8y²}}{2y}

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 21:36

tu te trompes

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 21:39

Sur quel niveau s'il vous plaît ?
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 21:40

le coefficient de x est b=-1

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 21:47

Bonjour ,
Vous avez strictement raison !
x1=\dfrac{1+\sqrt{1-8y²}}{2y}
Ou x2=\dfrac{1-\sqrt{1-8y²}}{2y}
Car x1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 22:32

oui mais une seule de ces 2 solutions convient

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 22:36

Est ce que c'est celle qui est inférieure à 0
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 1' 25-10-20 à 22:56

les 2 sont positives, il faut prendre la plus petite

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 26-10-20 à 10:19

Bonjour
Récapitulation :
1) f^{-1}=1-\sqrt{x-4}
2)f^{-1}(x)=2-\sqrt{4+x}
3)f-1(x)=-\dfrac{x²}{1+2x}
4)f-1(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-8y²}}{2y}

Posté par
heklare : Fonction Réciproque 1' 26-10-20 à 10:29

Bonjour alb12

réponse à 20 : 58

valeur absolue  aucun intérêt   \pm

x\leqslant 2  pas d'accord  c'est  x\leqslant 4 pour l'ensemble de définition de la fonction réciproque

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 26-10-20 à 11:20

Bonjour à tous
Merci beaucoup à vous deux de m'avoir répondu !
Pour la 3)
On a deux possibilités :
y1=-(2x^{2}+\sqrt{x²+1})
Ou y2=-(2x2-\sqrt{x²+1})
D'où f-1 (x)=-2x2-\sqrt{x²+1})

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 1' 26-10-20 à 13:27

@hekla
on resout y=4x-x^2 avec x<=2 donc x=2-sqrt(4-y)
en general je prefere resoudre f(x)=t pour eviter les confusions entre x et y

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 26-10-20 à 14:10

Bonjour

Citation :

Récapitulation :
1) f^{-1}=1-\sqrt{x-4}
2)f^{-1}(x)=2-\sqrt{4+x}
3)f-1(x)=-\dfrac{x²}{1+2x}
4)f-1(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-8y²}}{2y}

Est ce que c'est bon ?
Merci beaucoup

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 1' 26-10-20 à 20:47

1/ c'est 1+sqrt(x-4)

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 1' 26-10-20 à 20:48

2/ c'est 2-sqrt(4-x)

Posté par
alb12re : Fonction Réciproque 1' 26-10-20 à 20:55

3/ juste
4/ juste si tu remplaces y par x

Posté par
Mathes1re : Fonction Réciproque 1' 27-10-20 à 16:20

Bonjour
Merci énormément


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