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Fonction Terminale S
Posté par (invité)
Pour tout x>0 lnx<=x-1
Soit n un entier tel que n>=2. On donne n nombres réels trictement positifs
a1,a2,…,an et on pose:
u=(a1 +a2 + … + an)/n ; v = (a1a2…an)^1/n
Question
En appliquant lnx<=x-1 successivement pour x = a1/u , x =a2/u, … , x
= an/u et en combinant les n inégalités obtenues, montrer que v<=
u
Quelqu'un a des idées?
Bonjour,
Pour x=a1/u, on a
ln(a1/u) <= a1/u-1
Pour x=a2/u, on a
ln(a2/u) <= a2/u-1
Pour x=a3/n, on a
ln(a3/u) <= a3/u-1
...
Pour x=an/u, on a
ln(an/u) <= an/u-1
En additionnant membre à membre les égalités et en utilisant que
ln(a)+ln(b)=ln(a*b)
On obtient :
ln(a1a2a3...an/u^n) <= nu/u-n
ln(v^n/u^n) <= 0
nln(v/u) <=0
donc v/u <=1
donc v <=u.
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