Niveau terminale

fonction trigo (tangente)

Posté par dinah (invité) 10-11-04 à 18:17

salut à tous, j'aimerais que vous m'aidiez

l'objectif de cette partie est de minorer la fonction tangente sur I= [ 0 ; pi/2[

1) démontrer que tan x supérieur ou égale à x pour tt x de I

2) soit g la fonction définie sur I par :
g(x)= tanx - x - (1/3 x "au cube")

a- écrire g'(x) sous la forme d'un produit
b- déterminer le sens de variation de g
c- démontrer que tanx est supérieur ou égale à x+(1/3 x "au cube") pour tt x de I

3) l'objectif de cette partie est de majorer la fonction tangente sur J=[ 0; pi/4]

a- démontrer que pour tt x de J, on a tanx inférieur ou égale à 2x
b- soit h la fonction définie sur J par:
h(x)= tanx - x - ( 4x "au cube" / 3)
- déterminer le sens de variation de h sur J
- en déduire une majoration de la fonction tangente par une fonction cube sur J

4) en utilisant les questions précédentes, déterminer:
lim en x-o+ : tanx-x / x²

je vous remercie de m'aider, svp, merci

Posté par re : fonction trigo (tangente) 10-11-04 à 19:46

bonsoir ,
je t'ai pour le début
1.
quand tu as se genre de chose à démontrer, tu peux utiliser cette méthode (qui fonctionne assez souvant )
tu pose f(x)=tan(x)-x et tu montres que cette fonction est positive sur ton intervalle
$f'(x)=\frac{1}{cos^2(x)}-1=tan^2(x)\ge 0$
$\begin{tabular}{c|ccc}x&0& &\pi/2\\\hline .& & & \\f& &\nearrow& \\.&0& & \\\end{tabular}$
donc f(x) est positive sur ton intervalle
donc
$tan(x)\ge x$

2.a)
il te suffit de calculer ta dérivée et de voir une identité remarquable, car $\frac{1}{cos^2(x)}-1=tan^2(x)$
g'(x)=(tan(x)-x)(tan(x)+x)

2.b)
d'après ce que tu as précédement, g'(x) est positive sur l'intervalle, donc
$\begin{tabular}{c|ccc}x&0& &\pi/2\\\hline .& & & \\g& &\nearrow& \\.&0& & \\\end{tabular}$

2.c)
conclusion: g(x) est positive sur l'intervalle
c'est à dire $tan(x)\ge x+x^3/3$

pour le reste je n'ai pas regardé

Posté par dinah (invité)merci 10-11-04 à 20:12

merci j'ai réussi jusqu'à 3) b)
mais je n'arrive pas à majorer et pour le 4) aussi

merci de m'aider

l

Posté par re : fonction trigo (tangente) 10-11-04 à 20:21

tu as déterminer le sens de variation de h?

si c'est le cas tu as remarqué qu'elle était toujours négative
donc $tan(x)-x-4x^3/3\le 0$ sur ton intervalle
d'où
$tan(x)\le x+4x^3/3$ sur l'intervalle
voilà ta majoration

4.
tu sais que sur $[0;\pi/2[$
$tan(x)\ge x+x^3/3$

et sur $[0;\pi/4]$
$tan(x)\le x+4x^3/3$

d'où sur $[0;\pi/4]$
$x+x^3/3\le tan(x)\le x+4x^3/3$

ainsi:
$x^3/3\le tan(x)-x\le 4x^3/3$

$x/3\le \frac{tan(x)-x}{x^2}\le 4x/3$

tu peux maintenant passer à la limite

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