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fonction, trigonométrie
Bonjour, c'est encore moi!
J'ai un deuxième exo qui me pose problème aussi
Voila l'énoncé :
Dans un repère orthonormal (0; i; j), M est le point de coordonnées (m ; 0) avec 0 ≤ m ≤ 3,
N est le point de coordonnées (0 ; n) tel que MN = 3 et J le point du segment [MN] tel que
MJ=2
On note £ le lieu de J lorsque m décrit l'intervalle [0 ; 3].
1 ° a) Prouver que 3OJ = OM + 20N. (OJ OM et ON vecteurs)
b) Démontrer que n = √(9-m2 ). En déduire les coordonnées (x ; y) de J en fonction de m.
2° Prouver que y = 2√(1 - x2 ) et donc que J appartient à la courbe représentative ( C ) de la
fonction f définie sur [0 ; 1] par f(x) = 2√(1 - x2 )
3° a) Prouver que x appartient à l'intervalle [0 ; 1].
b) Quel est donc le lieu £
c) Etudier les variations de f et la dérivabilité de f au point d'abscisse 1.
d) Tracer £.
Voila. Merci de bien vouloir m'aider, ou au moin m'aiguiller.Bonne journée
1°
a)
On a M(m ; 0)
N(0 ; n)
Equation de la droite(MN): y = ax + b
0 = am+b
n = b
-> a = -n/m
Equation de la droite (MN): y =-(n/m)x + n
On a abscisse de J = m/3
-> J(m/3 ; -(n/m).m/3 + n)
J(m/3 ; -(n/3) +n)
J(m/3 ; 2n/3)
vect(OJ) = (m/3 ; 2n/3)
vect(OM) = (m ; 0)
vect(ON) = (0 ; n)
3.vect(OJ) = (m ; 2n)
2.vect(ON) = (0 ; 2n)
vect(OM) + 2.vect(ON) = (m ; 2n)
-> 3.vect(OJ) = vect(OM) + 2.vect(ON)
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b)
Dans le triangle rectangle ONM:
ON² + OM² = NM²
n² + m² = 3²
n² = 9 - m²
et en supposant n > 0, on a:
n = V(9-m²) (V pour racine carrée).
J(m/3 ; 2n/3)
J(m/3 ; (2V(9-m²))/3)
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2°
x = m/3
y = (2V(9-m²))/3
Il faut éliminer m entre ces 2 équations ->
m = 3x
y = (2V(9-9x²))/3
y = (6V(1-x²))/3
y = 2V(1-x²)
f(x) = 2V(1-x²)
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3°)
a)
Pour que f(x) existe, il faut que 1-x² >= 0 et comme x = m/3 avec m > 0, on a x dans [0 ; 1]
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b)
Le lieu de m est la courbe de la fonction f(x) = 2V(1-x²) avec x dans [0 ; 1]
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c)
f(x) - f(1) = 2V(1-x²) - 0 = 2V(1-x²)
(f(x) - f(1))/(x-1) = 2[V((1-x)(1+x))]/(1-x) = 2[V((1+x)/(1-x))]
lim(x-> +1-) [(f(x) - f(1))/(x-1)] = 2 lim(x-> +1-) [V((1+x)/(1-x))] = +oo
f(x) n'est pas dérivable en 1.
f(x) = 2V(1-x²) avec x dans [0 ; 1]
f '(x) = -2x/V(1-x²)
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ -> f(x) est décroissante.
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d)
voir dessin.
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Sauf distraction.
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