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Fonctions

Posté par DeltaAirlines (invité) 29-11-05 à 22:32

Bonsoir tlm !! J'ai un problème avec une question que je n'arrive pas à traiter. POuvez-vous m'aider s'il vous plait ?

On doit montrer que l'équation:
valeur absolue de (x(1-x))= 1/ (33)

admet trois solutions vérifiant:
-1/3< x < 0

0< x < 2/3

2/3< x <1

Pour i appartenaant à {1,2,3} on pose ui = 3/2 (xi - 1/3)
Montrer qu'il existe un réel unique téta tq ui = cos téta i

Merci !! DA

Posté par re : Fonctions 29-11-05 à 23:23

tu étudies le signe de la fonction $\array{f &:&\]-\infty,1\] &\to &\mathbb R \\ & & x &\to &\| x\sqrt{1-x}\|-\frac 1 {3\sqrt 3}$

tu constates que si x<0, $f^'(x)=\frac{3x-2}{2\sqrt {1-x}}$ est négatif donc $f \searrow {\rm sur } {\mathbb R}^-$
tu constates que $si 0<x<1$ , $f^'(x)=\frac{-3x+2}{2\sqrt {1-x}}$ est positif sur $0\,,\,\frac 3 2$ puis négatif $\frac 3 2\,,\,1$

$\Large \array{c30|lc60cc50cc80r | c0|$ &-\infty& &0& &\frac 3 2 & & 1&\\ \hline f^'(x)& &-& || &+&0&-\\ \hline f(x)& \small+\infty & \searrow & \mbox{\small \relstack{ }{- \frac{1}{3\sqrt 3}} } & \nearrow &^{>0} & \searrow &\mbox{\small \relstack{ }{- \frac{1}{3\sqrt 3}} } & \\ \vspace{5} \\}$

d'après le tableau de variation (et le théorème de la bijection) 0 admet un antécédent par f dans chacun des intervalles $]-\infty\,,\,0 [ \; ]0\,,\,\frac 3 2 [ \;et\; ]\frac 3 2\,,\,1 [$

Posté par re : Fonctions 30-11-05 à 00:18

Si les trois racines $x_i$ sont comprises dans l'intervalle $[-\frac 1 3\,,\,1]$ on peut écrire
$-\frac 2 3\,\le \,x_i-\frac 1 3\,\le\,\frac 2 3$
$-1\,\le \,\frac 3 2$x_i-\frac 1 3$\,\le\,1$

Si $u_i=\frac 3 2$x_i-\frac 1 3$$ , $\exists \theta_i\,\in[0,\pi]\,tel\,que\;u_i=\cos\theta_i$

Donc
$\large \array{c50ccl$ & x_i\,\sqrt{1-x_i}& = & \frac 1 {3\sqrt 3} \\ \Longleftrightarrow & $\frac 2 3 u_i+\frac 1 3$ \sqrt{\frac 2 3- \frac 2 3 u_i} & = & \frac 1 {3\sqrt 3} \\ \Longleftrightarrow & $2 u_i+1$ \sqrt{2(1- u_i)} & = & 1 \\ \Longleftrightarrow & $2 \cos \theta_i+1$ \sqrt{2(1- \cos \theta_i)} & = & 1 \\ \Longleftrightarrow & $2 \cos \theta_i+1$ \sqrt{4 \sin^2 $\frac {\theta_i} 2$} & = & 1 \\ \Longleftrightarrow & $2 \cos \theta_i+1$ $2 \sin \(\frac {\theta_i} 2$\) & = & 1 \\ \Longleftrightarrow & 4 \cos \theta_i\sin $\frac {\theta_i} 2$\,+\,\sin $\frac {\theta_i} 2$ & = & 1\\ \Longleftrightarrow & 2$ \sin \(\frac {3\theta_i} 2$ - \sin $\frac {\theta_i} 2$\) \,+\,2\sin $\frac {\theta_i} 2$ & = & 1\\ \Longleftrightarrow & \sin $\frac {3\theta_i} 2$ & = & \frac 1 2 = \sin \frac \pi 6}$

Comme $\theta_i\,\in\,[0,\pi]$ , on trouve
$\red \large \theta_i\in\{\frac \pi 9\,,\,\frac {5 \pi} 9\,,\,\frac {7 \pi} 9\}$

Donc $\red \large x_i=\frac 2 3 u_i+\frac 1 3 = \frac 2 3 \cos\frac {k \pi} 9 + \frac 1 3$ où $k\in\{1,5,7\}$

Posté par DeltaAirlines (invité)re : Fonctions 30-11-05 à 07:42

Merci bcp Franz !! En fait, je m'aperçois que je me suis emmêlé nles pinceaux dans les racines carrées et les cosinus ... Merci !!

Posté par re : Fonctions 30-11-05 à 13:23

Avec plaisir

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