Bonjour
On nous demande de déterminer toutes les fonctions f d plus étoile
dans luis même vérifiant pour tout réels x,y,z et t vérifiant x+y=z+t on a
f(x)+f(y)=f(z)+f(t).
Je trouve les fonctions lineaires et affines mais je ne sais pas s'il y en a d'autres ?
Salut
Tu dois utiliser un raisonnement par analyse synthèse, il me semble. J
Comment as-tu démontré ça?
Une condition nécessaire est que ...
* Sylvieg > voir ci-dessous un "mea culpa" *
Et on divisant par x-z et t-y on obtient la meme valeur alors constante même pente.mais commnent démontrer rigoureusement ?
ayant fixé une fois pour toute x et z distincts alors pour tous t et y distincts :
le taux de variation de la fonction f est donc constant et égal à a ...
Bonjour,
Je me permets de préciser le "j'ai répondu à coté" de mousse42.
Avec f(x) = 2022x + 2023, on a cette équivalence
f(x)+f(y) = f(z) + f(t) x+y = z+t
Mais f(n) est rarement égal à nf(1).
Dans le message de carpediem à 13h05, je ne comprends pas ce qui justifie l'égalité des quotients quand t-y n'est pas égal à x-z.
Quand on a une propriété vraie pour tout réels x,y,z et t vérifiant x+y=z+t elle est vraie pour x =732, y =7, z = 39 et t = 700.
Elle est aussi vraie pour x =732, y =7, et tout z et t tels que z+t = 739.
Quelque chose qui ressemble à ce qu'a écrit carpediem :
Avec x = 2 et z = 1, pour tout t et y tels que t-y =1 on a
f(2) -f(1) = f(t) - f(y).
Autrement dit f(y+1) = f(y) + f(2) - f(1).
Un autre cas particulier que l'on peut utiliser :
Si z = t = (x+y)/2 alors z+t = x+y.
D'où
oui ... ou aussi en fixant x non nul et en prenant z = 0 alors t = x + y donc vraie pour tout réel y ...
donc vraie pour tous réels x non nul et y ...
effectivement j'avais oublié ... mais qui peut le plus peut le moins !!
d'ailleurs on impose en fait sur ]0, +oo[ ...
celas suggèrerait-il d'autre solutions non affines ?
Ce que vous avez donnez sont tous des cas particulier qui donnent des fonctions affines ou pas je ne sais pas trop.
Mais explicitement comment trouver tout l'ensemble de fonction?
Ce qui me semble que vous avez reposer la question d'une autre manière. Et non pas trouver la solution.Merci pour votre coopération de bien vouloir m'aider d'une autre manière.
Bonjour,
Moi aussi il me semble qu'aucun intervenant n'a trouvé de démarche qui puisse permettre de conclure.
On fait ce qu'on peut
Bonjour,
Une tentative.
Si f est solution, alors g=f+k où k est une constante est également solution.
En effet g(x)+g(y)=f(x)+f(y)+2k=f(z)+f(t)+2k= g(z)+g(t)
On peut donc commencer par rechercher les solutions telles que f(0)=0.
Comme x+y=(x+y)+0, ce sont les fonctions telles que f(x)+f(y)=f(x+y) pour tout x et y.
Or on sait que les fonctions continues solutions de cette dernière équation sont les fonctions linéaires (Cauchy).
Les fonctions solutions générales sont donc les fonctions affines.
Sauf erreur
Cela dit, quels que soient x, y et t
*+ et t< x+y, on a bien
f(x)+f(y)-f(x+y-t)=f(t)
et si f est supposée continue (ce qui n'est effectivement pas dit dans l'énoncé) qu'advient-il de cette égalité quand t0 ?
alors je suis (presque) persuadé qu'il y a d'autres questions ... et qu'il n'est pas donné abruptement ainsi ...
f(x-u)-f(x)+f(x+u)-f(x)=0
On divise le tout par u non nul on fait tendre vers 0 avec x fixe (on suppose f derivable)
2f'(x)=0 pour tout x donc f constante.???
Bonjour,
, nous avons
, donc :
donc :
Nous avons aussi , donc :
On peutrouve en tirer que donc:
....
Sylvieg : certes mais cela n'empêche pas de travailler dans R ... puis ensuite de voir si un argument invoqué est contradictoire ensuite avec la contrainte ...
et toute solution sur R est évidemment solution sur ]0, +oo[ ...
Même si dans le donné f de plus étoile dans lui même. si on suppose que f est défini sur
quelles serons les résultats ?
Bonsoir
une intrusion
il me semble qu'on peut montrer que les fonctions vérifiant :
sont les fonctions
sauf erreur de ma part bien entendu
Je m'explique :
Notons d'abord que la famille
est bien une famille de solutions de notre problème.
Si est une solution, le réel
est bien défini et on a
.
Distinguons alors deux cas :
. (ce qui sous entend bien entendu que
)
Dans ce cas on a,
ce qui s'écrit aussi
et donc
et comme on voit que
...
il n'est pas difficile alors (par une récurrence par exemple) de voir que dans ce cas est constante de valeur
sur tout
.
.
En considérant la fonction (qui est aussi solution de notre problème), on a
.
Dans ce cas la caractérisation de la borne inférieure (non atteinte) s'écrit
d'où
ce qui n'est autre que la définition de .
En écrivant, pour ,
on voit que,
d'où en faisant tendre vers
,
.
De même en écrivant pour tel que
,
on a
d'où . On conclut que
est continue sur
.
Et en écrivant (finalement ) pour
,
on voit que
sauf erreur bien entendu
encore un à elhor_abdelali ... cependant j'aimerai bien voir un élève de première sortir un tel raisonnement !!
...
Bonjour carpediem,
soit p et q deux réels positifs de somme 2 : p + q = 2
alors
f est continue donc en faisant tendre p vers 2 on en déduit que f admet une limite en 0 et on peut poser
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