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Fonctions & cie---> A gagner... Toute mon estime!
Je suis en galère avec un DNS (et je suis sur qu'il est hyper
facile mais bon...). Cela va faire quelques jours que je suis dessus
et mes résultats me paraissent un peu abérants... J'ai mis niveau
terminal, mais je suis en STI et normalement même un première S devrait
savoir le faire (d'après mon "prof")... Alors voilà:
Un fabricant de médicaments souhaite produire un comprmé parallèlépipèdique
rectangle.
(ça c'est pour la p'tite histoire)
Les contraintes de fabrications sont:
-la largeur doit être comprise en 3 et 12 mm,
-la longueur doit être égale à 2 fois la largeur,
-le volume doit être compris entre 576 mm^3.
Compte tenu de ces contraintes, le fabricant souhaite que la somme S des
aires des différentes faces du comprimé soit la plus petite possible.
A) On note x la largeur de la tablette et h sa hauteur
1- Calculer le volume de la tablette à l'aide x et de h.
2-En déduire l'expression de h en fonction de x.
3-Calculer alors S(x) en mm² en fonction de x.
B) Soit P la fonction définie sur [3,12] par P(x)=2x^3-432
1-Calculer P(6)
2-Vérifier que, pour tout x de [3,12]
par P(x)=(x-2)(2x²+12x+72).
3-Etudier le signe de P(x). (On admettra que, pour tout x de [3,12], 2x²+12
x+72>0).
C) Soit f la fonction définie sur [3;12] par:
f(x)=x²+432/x.
1-Calculer f'(x) pour tout x de [3,12].
2-A l'aide de B), donner le tableau de variations de f.
D)
1-Vérifier que S(x)=4f(x)
2-En déduire que S(x) admet un minimum que l'on précisera. Pour quelle
valeur de x est-il atteint?
Amusez vous bien, amis Scientifiques!!!
Et merci d'avance!!!
Rémy
Quand tu écris: "-le volume doit être compris entre 576 mm^3".
cela ne veut rien dire. -> on suppose que V = 576 mm³
A)
1)
3 <= x <= 12
longueur = 2x
V = x*longueur*h
V = x*2x*h
V = 2x².h
---
2)
576 = 2x²h
h = 288/x²
---
3)
C'est quoi S(x) ?
On suppose la somme des aires des faces.
S(x) = 2[(2x.x) + (2xh) + x.h]
S(x) = 2(2x² + 3xh)
S(x) = 4x² + 6x.(288/x²)
S(x) = 4x² + (1728/x)
S(x) = 4(x² + (432)/x)
----
B)
1)
P(6) = 2.6³ - 432 = 432-432=0
2)
Et vlan encore une erreur d'énoncé, il ne peut s'agir que
de (x-6)(2x²+12x+72) et pas ce que tu as écrit.
(x-6)(2x²+12x+72). = 2x³+12x²+72x-12x²-72x-432=2x³-432
et donc P(x) = (x-6)(2x²+12x+72)
3)
P(x) = (x-6)(2x²+12x+72)
P(x) = 2(x-6)(x²+6x+36)
Le déterminant de x²+6x+36 est négatif -> x²+6x+36 a le signe de son
coefficient en x², soit positif, quelle que soit la valeur de x.
-> P(x) a le signe de (x-6)
P(x) < 0 pour x compris dans [3 ; 6[
P(x) = 0 pour x = 6
P(x) > 0 pour x dans ]6 ; 12[
-----
C)
1)
f(x) = x²+(432/x)
f '(x) = 2x - (432/x²)
f '(x) = (2x³ - 432)/x²
2)
Comme x² > 0 dans [3 ; 12], f '(x) a le signe de 2x³-432
->
f '(x) < 0 pour x compris dans [3 ; 6[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 6
f '(x) > 0 pour x dans ]6 ; 12[ -> f(x) croissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = 6, ce min vaut f(6) = 36 + (432/6)
= 108
D)
1) Comme on a montré que S(x) = 4(x² + (432)/x), on a S(x) = 4.f(x)
2)
S(x) est minimum en même temps que f(x) -> S(x) est min pour x = 6
Ce min vaut S(6) = 4*108 = 432 mm²
-------------
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