Niveau Maths sup

Fonctions Circulaires Réciproques

Posté par shup (invité) 13-09-07 à 22:46

Bonsoir tout le monde! J'ai quelques problème sur la démonstration de certaines inégalités sur les fonctions circulaires réciproques:

MQ pour tout x appartenant à [-1 1]

cos( Arccos(x) /2 )  = (1+x)/2
cos( Arcsin(x) /2 )  = 1+x + 1-x       /2
sin( Arccos(x) /2 )  = (1-x)/2
sin( Arcsin(x) /2 )  = 1+x - 1-x       /2

Merci d'avance à ceux qui ont essayer de chercher... !!

Posté par re : Fonctions Circulaires Réciproques 13-09-07 à 22:57

Bonsoir, il suffit de connaitre un peu ses formules sur le calcul trigonométrique.

Par exemple le premier.

On sait que cos(2x)=2cos²(x)-1

Ie :
cos²(x)=1/2(cos(2x)+1)

En prenant x=Arccos(t)/2 on a alors :
cos²(Arccos(t)/2)=1/2*(cos(Arccos(t))+1)=1/2(t+1)
On prend la racine modulo conditions et c'est réglé !

Même idée pour les autres.

(Par exemple le deuxième : cos(2x)=1-2sin²(x)

Posté par shup (invité)re : Fonctions Circulaires Réciproques 14-09-07 à 00:11

Merci beaucoup pour le tuyau!
Mais la formule cos(2x)=1-2sin²(x) est utilisé pour le 3e, cependant, je ne trouve pas la méthode pour trouver la 4e et la 2e :s

Merci encore pour la résolution du 1er!

Posté par re : Fonctions Circulaires Réciproques 14-09-07 à 08:42

Ben c'est un peu pareil :

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

En prenant a=Arcsin(x)/2

On a alors sin(Arcsin(x))=2sin(Arcsin(x)/2)cos(Arcsin(x)/2)
Ie :
sin(Arcsin(x)/2)=x/[2*cos(Arcsin(x)/2)]
Ca tombe bien tu connais cos(Arcsin(x)/2)