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fonctions continues et limites de suites
Bonjour tout le monde, j'ai un petit problème avec cet exercice, pouvez-vous m'aider?
f est la fonction définie sur ]0;+
[
par: f(x)=1+(6/
x)
A)1.a
Démontrer que l'équation (E):f(x)=x est équivalente à:
x=X et X[/sup]3-X-6=0
b
Démontrer que X[sup]3-X-6=(X-2)Q(X) où Q(X) est un polynome.Déterminer ce polynôme.
2.a
Vérifier que pour tous réels x et y strictement positifs:
valeur absolue de f(x)-f(y)=[6/(xy(x+y))]*valeur absolue de x-y
b
En déduire que si x>3 et y>3, alors:
valeur absolue de f(x)-f(y)<(/3)*valeur absolue de x-y
B.On note (u[/sub]n) la suite définie par u[sub]0=1 et pour tout entier naturel n,u(sub][/sub]n+1)=1+(6/u[/sub]n)
1.Calculer u[sub]1,u[/sub]2,u[sub]3,u[/sub]4 et u[sub]5.Que peut on conjecturer concernant les variations de cette suite?
2.a
Démontrer par récurrence que pour tout n
2, 3<u[/sub]n<5
b
En utilisant la question A1, si la suite (u[sub]n) a une limite l, quelle est cette limite?
3.a
En utilisant
valeur absolue de f(x)-f(y)=[6/(xy(x+y))]*valeur absolue de x-y
démontrer que
valeur absolue de u([/sub]n+1)-l<(1/3)*valeur absolue de u[sub]n-l
b
En déduire que pour tout entier n2
valeur absolue de u[/sub]n+1-l<3/(3)[sup][/sup]n
c
En déduire alors que la suite (u[sub]n) est convergente et calculer sa limite.
J'espère que vous pourrez m'aider parce je bloque complètement.
Merci d'avance.
1/
f(x)=x
1+6/Vx-x=0 je pose V pour racine carrée
Vx+6-xVx=0 sur ]0;+oo[
si on pose t =Vx alors t²=x
on a t+6-t^3=0
2/
si 2 est solution on a
x^3-x-6=(x-2)(ax²+bx+c)=ax^3+bx²+xc-2ax²-2bx-2c=ax^3+x²(b-2a)+x(c-2b)-2c
on a -2c=-6 c=3
c-2b=-1 3-2b=-1 alors -2b=-4 b=2
a=1
x^3-x-6=(x-2)(x²+2x+3)
2a/
|f(x)-f(y)|=|1+6/Vx-1-6/Vy|=|6(1/Vx-1/Vy)|=|6(Vy-Vx)/(VxVy)| on peut multiplier et diviser par Vx+Vy pour faire apparaitre x-y de la forme a²-b=(a-b)(a+b)
=6|x-y|/(Vxy(Vx+Vy)
2b/
si x>3 alors 1/x<1/3 alors 0<1/Vx<1/V3
1/Vxy<1/3
Vx+Vy>2V3
1/(Vx+Vy)<1/2V3
|f(x)-f(y)|<6|x-y|/(3*2V3)=|x-y|/V3
est ce que jusque là ca va??
Merci déjà pour ça.Et donc jusque là j'ai compris
B/
1/ ce n'est que du calcul
U0=1
Un+1=1+6/VUn
alors
U1=1+6=7
U2=1+6/V7=3.2 etc ...
2/
On vérifie que c'est vrai pour U2=3.2 alors 3<U2<5
on suppose vrai pour Un et on verifie vrai pour Un+1
3<Un<5
alors Un+1=1+6/Vun
on V3<VUn<V5 car la fonction V est croissante
1/V5<1/VUn<1/V3
1+6/V5<Un+1<1+6/V3 car on multiplie par un nombre >0 donc on ne change pas l'inégalite
or 1+6/V5=3.68 alors 3.68>3
et 1+6/V3=4.46<5
alors 3<Un+1<5
d'apres A on peut supposer que la limite soit 1/V3
3/
pour cette question faire de la meme facon que pour A de la question identique le fait que se soit une suite ne change rien.
4/
pour cette question il faut utiliser la réponse 3 et la réponse précédente cela doit venir tout seul car c'est "En déduire"
5/
la suite est convergente car elle est bornée et cette limite est à toi de calculer
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