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Fonctions / Équation différentielle / intégrales
Bonjour, j'ai besoin d'aide avec cet exercice s'il vous plaît
Partie 1)
(E) : y'-y=e-x - 7/2
1)Démontrer que g(x)=7/2-1/2e-x défini sur R est solution de (E).
2)Démontrer que f est solution de E, si f-g est solution de y'-y=0
3)En déduire l'ensemble des solutions de (E)
Partie 2)
f définie sur R par f(x)=7/2-1/2(ex +e-x)
1)Justifier que f est solution de (E).
2)Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3)Étudier le sens de variation de f.
4)Justifier que f est paire.
5)Démontrer que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur [0; +∞[.
6)En déduire que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution sur ] − ∞; 0] qui vaut −α. 7)Déterminer une valeur approchée à 10−3 près de α.
Partie 3)
(Je préfère finir les deux premières parties)
Voici ce que j'ai fait :
Partie 1)
1)j'ai fait g'-g puis je suis arrivé à e-x - 7/2
2)
f est solution de (E)
<=>f'-f= e-x - 7/2
Or g est solution de (E)
Donc g'-g= e-x - 7/2
Donc f est solution de (E)
<=>f'-g'-(f-g)=0
<=>(f-g)'=f-g
<=>f-g est solution de y'-y=0
3)
<=>il existe k appartenant à R tel que f(x)-g(x)=kex
<=> il existe k appartenant à R tel que f(x)=kex+g(x)
<=> il existe k appartenant à R tel que f(x)=kex-7/2-1/2e-x
Est-ce que c'est correcte ?
Partie 2)
je ne sais pas comment faire à la question 1)
Faut-il faire comme à la 1) de la partie 1 ?
Merci d'avance
Salut,
Partie 1 correcte.
Pour la question 1 de la partie 2 : inutile de tout recommencer :
Tu peux constater (en développant par exemple) que la fonction f donnée est bien de la forme kex-7/2-1/2e-x, donc solution de (E) : il te suffit de donner la valeur de k correspondante.
Merci pour votre réponse…Donc f(x)=7/2-1/2(ex +e-x) =7/2-1/2 ex-1/2e-x
Donc c'est bien de la forme kex-7/2-1/2e-x avec k=-1/2 ? Mais c'est faux puisque j'ai ici -7/2 alors que j'avais noté 7/2
Ah c'est f(x)=kex+7/2-1/2e-xla question 3) de la partie 1)
Donc mon message précédent est correcte ?
D'accord merci pour la 2) pas de forme indéterminée ?
Ensuite pour la 3)
f'(x)=-1/2(ex-e-x) ? Comment je fait le signe de ça ?
-1/2(ex-e-x)=0 et je développe ?
D'accord merci, donc
ex>e-x
x>-x
2x>0
x>0 ?
Donc comme il y a -1/2 c'est : f'(x) + lorsque x<0 et - lorsque x>0 ?
4)Justifier que f est paire.
f est paire si son ensemble de déf est "symétrique" par rapport à 0 , et si pour tout x de Df, f(-x) = f(x)
Comment je le démontre ? Je prend quelques valeurs negative et positive pour x et je dis que je trouve la même chose ?
Ou je dois juste écrire
f(-x)=f(x)
7/2-1/2(e-x +e-(-x)) = 7/2-1/2(ex +e-x))
En attendant votre réponse, pour la question suivante, j'applique juste la conséquence du théorème des valeurs intermédiaires ? Aussi je dois mettre f(0) ou lim f(x) en 0+ ?
Ensuite pour la question 6) je dois refaire la même démarche que la question précédente ou je peux dire que comme l'ensemble de déf de f est "symétrique" par rapport à 0, elle admet aussi une unique solution -alpha (car opposé de alpha par rapport à l'axe des ordonnées) sur ]-infini;0]
Comment je le démontre ? Je prend quelques valeurs negative et positive pour x et je dis que je trouve la même chose ?
Ou je dois juste écrire
f(-x)=f(x)
7/2-1/2(e-x +e-(-x)) = 7/2-1/2(ex +e-x))
En attendant votre réponse, pour la question suivante, j'applique juste la conséquence du théorème des valeurs intermédiaires ? Aussi je dois mettre f(0) ou lim f(x) en 0+ ?
Ensuite pour la question 6) je dois refaire la même démarche que la question précédente ou je peux dire que comme l'ensemble de déf de f est "symétrique" par rapport à 0, elle admet aussi une unique solution -alpha (car opposé de alpha par rapport à l'axe des ordonnées) sur ]-infini;0]
6 : méthode correcte !
Faut rédiger propre :
* Df = IR donc pour tout x de Df, x appartient à Df
* Pour tout x de Df, f(-) = ... = ... = f(x)
Donc (...)
Et voici la dernière partie s'il vous plaît :
On modélise une partie d'un pont :
Pour la partie inférieure : par la courbe représentative de f sur l'intervalle [−α; α] ;
Pour la partie supérieure : par la courbe représentative de h sur l'intervalle [−α; α]
où h est la fonction définie sur R par
h(x)=(9ex)/((1 + ex)2) + 1/2
Pour les côtés : par les droites verticales d'équations x = α et x = −α.
1)On admet que h > f sur l'intervalle [−α; α].
Déterminer l'aire de la partie hachurée sachant que l'unité est le mètre.
2)On veut savoir la longueur de l'arc formé par la partie inférieure. Cette longueur est donnée par :
a)Vérifier que pour tout réel x, 1 + (f′(x)) 2 = 1/4(ex +e-x)2
b)En déduire la longueur de l'arc en m.
Pour la question 1) je dois faire la primitive de h ?
un dépannage en passant, mais je n'ai pas lu au dessus
ton aire, ton cours doit te dire que pour la calculer, c'est 2 u.a
non ?
C'est alpha et non 2 (alpha=1,925)
Mais pourquoi h-f ? Je veux dire f correspond juste à en dessous de la partie hachuré et h juste au dessus, il aurait fallu que h corresponde à la partie supérieur jusqu'à l'axe des à succès pour faire h-f qui correspond à la partie hachuré ?
Bonsoir,
en l'absence des répondants
c'est
qui correspond bien à l'aire sous la courbe
- l'aire sous la courbe
, comprise
entre et
ce qui correspond bien à l'aire "rouge"
Sinon je trouve 1,868 c'est correcte ? Mais 1,868 m ou u.a ?
oui c'est valeur arrondie 1.868 u.a.
Pourquoi dit-on « sachant que l'unité est le mètre. » cette information ne sert à rien ?
j'ai lu tout en vitesse mais je n'ai pas vu ça écrit dans le texte
D'accord merci ! Et aussi que signifie « On admet que h > f sur l'intervalle [−α; α]. » enfin je veux dire, quel est l'utilité de cette information ?
Et pour la question suivante, il suffit de trouver la dérivée de f ?
Qui est f'(x)=-1/2(ex-e-x) ?
Donc 1+(f'(x))2=1+[-1/2(ex-e-x)]2 = 1/4(ex+e-x)2 ?
D'accord merci ! Et aussi que signifie « On admet que h > f sur l'intervalle [−α; α]. » enfin je veux dire, quel est l'utilité de cette information ? d'après moi, à rien
Et pour la question suivante, il suffit de trouver la dérivée de f ?
Qui est f'(x)=-1/2(ex-e-x) ?
Donc 1+(f'(x))2=1+[-1/2(ex-e-x)]2 = 1+1/4(ex+e-x)2
Effectivement j'avais rajouté le 1+
Mais donc dans votre message de 22h45 il n'y a pas de 1+ ?
Car dans la question à) il y a écrit :
a)Vérifier que pour tout réel x, 1 + (f′(x)) 2 = 1/4(ex +e-x)2 et je ne vois pas le 1+ dans le résultat ? Il y a un problem quelque part
Mais alors pourquoi dans la question il y a écrit
1+(f'(x)=1/4(ex+e-x)2
Où est le 1+ devant ? Il y est avant le égal mais plus après ? Il faudrai donc aussi le mettre devant tel que :
1+(f'(x)=1+1/4(ex+e-x)2
Ah d'accord mais donc dans votre message de 22h45 il n'y a pas le 1+ en rouge sinon, lorsque l'on calcul la dernière question
Au lieu de mettre racinecarre(1/4(ex+e-x)2 on aurait du mettre
racinecarre(1+ 1/4(ex+e-x)2
le +1 y était
D'accord
Donc 1+(f'(x))2=1+[-1/2(ex-e-x)]2 = 1+1/4(ex+e-x)2
Au lieu de mettre racinecarre(1/4(e^x+e^-x)^2 on aurait dû mettre
racinecarre(1+ 1/4(e^x+e^-x)^2 oui
Je suis désolé mais je suis un peu perdu…
On nous dis de démontrer que 1+f'(x)= 1/4(ex+e-x)2
Donc dans la racine carré on doit mettre :
1+f'(x) soit 1/4(ex+e-x)2
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