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fonctions holomorphes

Posté par
louetcharles 07-02-21 à 17:28

Bonsoir,
Je dois décrire les\alpha et\beta positifs tels que il existe une fonction f holomorphe et bornée sur D(0,1) qui s'annule sur les points:
       (1-2^{-\alpha n})\exp (2\pi ik2^{-\beta n})

      n\geq 1  et   0\leq k< 2^{\beta n}

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 07-02-21 à 17:35

  J'ai pensé à la fonction f(z)=z^{2^{\beta n}}-(1-2^{-\alpha n})^{2^{\beta n}}

    J'ai raisonné avec les polynômes quand on doit résoudre X^{n}=z
    Si z_{0} est solution évidente , alors les solutions sont de type
                                    z_{0}\exp (i2k\pi /n)  avec 0<=k<=(n-1)

    Suis je complètement à côté de la plaque?

Posté par
verdurinre : fonctions holomorphes 07-02-21 à 18:18

Bonsoir,
il me semble que la question porte sur et .
Il n'y a pas que quantificateur sur n : si c'est une valeur fixé il n'y a pas de condition sur et , sauf que les points doivent être dans D(0,1).

Personnellement, vu la question, je pense que ces points doivent être des zéros de la fonction quelque soit n entier strictement positif.
Dans ce cas la fonction nulle marche toujours, pour qu'il y en ait d'autres il faut des conditions sur et .

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 07-02-21 à 18:27

Merci Verdurin ,
Comment dois je m' y prendre alors pour les trouver ?

Merci de me donner un indice

Posté par
verdurinre : fonctions holomorphes 07-02-21 à 18:34

Les zéros doivent être isolés.

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 07-02-21 à 18:36

Merci beaucoup , je vais essayer de comprendre ce que tu m' as donné

Posté par
etniopalre : fonctions holomorphes 08-02-21 à 08:55

      On se donne donc a et b dans + * et pour (k , n) x *  on pose r(n,k) = 1 - 1/2an , t(n,k) =  2k/2nb et  z(n,k) = r(n,k)eit(n,k)  .

   On obtient donc une infinité de points du disque ouvert DO(0 , 1) := { z │ |z| < 1}  .

    On pourrait penser à la suite n   Pn   [X] définie par   Pn  := {   X - z(n,k)│  0 k} n }

Posté par
DOMOREAfonctions holomorphes 08-02-21 à 08:57

bonjour,
comme tu restes dans D(O,1) il est nécessaire que |1-2^{-\beta n}|<1 en déduire une condition sur \beta
puis d'après le principe des zéros isolés, il me semble qu'il faille que \alpha soit rationnel, à toi de voir pourquoi.

Posté par
etniopalre : fonctions holomorphes 08-02-21 à 08:58

***  Pn  :=  {   X - z(n,k)│  0   k   2nb}

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 08-02-21 à 09:59

Merci ,

On doit avoir module de 1- 2(puissance -alpha . n) inférieur à 1 mais c'est toujours le cas puisque n est un entier naturel non nul et alpha un réel strictement positif .

Je me trompe ?

Posté par
Ulmierere : fonctions holomorphes 08-02-21 à 11:45

Si alpha = 0 n'importe quelle fonction fait l'affaire.
Dans le cas contraire, l'exponentielle ne s'annulant jamais, tu peux prendre beta quelconque positif et alpha>0 et chercher quelles fonctions annulent 1-2^{-\alpha n}. Aucun lien avec k, donc.

L'ensemble des 1-2^{-\alpha n} a-t-il un point d'accumulation ?
Conclusion ?

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 08-02-21 à 15:28

Merci Ulmière

Je suis en reprise d' études . Je pose certainement des questions très idiotes .
Je pensais que dans exponentielle ( i2kpi.2^-bêta.n) , il fallait que k fois2( puissance - bêta.n )soit entier .
Ce qui impose à 2 puissance bêta.n d' être un diviseur de k .

De plus , je ne connais pas cette notion de point d' accumulation . J' ai cherché sur Internet. Si j' ai bien compris on cherche à voir si des 1-2( puissance -alpha.n) s' accumulent sur le bord du disque, c'est est à dire de module égal à 1 . Je trouve que non
Du coup je ne trouve pas de conditions supplémentaires pour alpha que d' être >0.
Et toi , dans ton post précédent , tu n' en trouves pas pour bêta.

Je tourne donc en rond.....

Posté par
Ulmierere : fonctions holomorphes 08-02-21 à 16:12

Le but n'est pas de trouver les fonctions dont l'image est de module 1 en ces points, mais les fonctions qui s'annulent en ces points. Ou si tu préfères, celles qui ont un module 0 en ces points.

Déjà, la question de l'énoncé est mal posée, parce que 0 est toujours une fonction holomorphe du disque qui s'annule en tous tes points. Donc si je suis un peu taquin, je te dirai que n'importe quel couple (alpha,beta) fait l'affaire
Je suppose donc que tu cherches des fonction holomorphes non nulles sur le disque unité


Tous tes points se réduisent à un seul dès que alpha = 0, parce qu'alors le facteur 1-2^{-\alpha n} vaut toujours zéro. Dans le cas alpha=0, les fonctions que tu cherches sont donc les fonctions holomorphes/analytiques non nulles sur le disque unité qui s'annulent en zéro. L'identité est un exemple d'une telle fonction. Conclusion : n'importe quel couple (0,\beta) convient.

Suppose maintenant que alpha soit non nul (c'est-à-dire, strictement positif, ici).
C'est là qu'intervient ton histoire de racines n-ièmes de l'unité. Avant même de chercher des fonctions solutions, il faut déjà faire en sorte qu'elles puissent être bien définies.
Pour tous k,n, (1-2^{-\alpha n})\exp (2\pi ik2^{-\beta n}) doit être dans le domaine de définition, c'est-à-dire, de module inférieur strictement à 1.
Le module d'un produit est le module des produits : |(1-2^{-\alpha n})\exp (2\pi ik2^{-\beta n})| = (1-2^{-\alpha n}) \times 1. C'est là qu'est ton erreur. On ne cherche pas à faire en sorte que \exp (2\pi ik2^{-\beta n}) = 1 ici. On sait par contre que |e^{ix}| = \sqrt{\cos^2(x) + \sin^2(x)} = 1 pour tout réel x
Pour que tout soit bien défini, la condition est 1-2^{-\alpha n} < 1, ce qui est toujours vrai et ne dépend pas de \beta, ni de k d'ailleurs.
Bien, maintenant, on note A = \{(1-2^{-\alpha n})\exp (2\pi ik2^{-\beta n})   |  n\geqslant 1   0\leqslant k\leqslant 2^{\beta n}\}. D'après ce qui précède, cet ensemble est inclus dans D(0,1) et f(a) a un sens pour tout a\in A.

Je rappelle que
1) un point d'accumulation de A est un complexe tel que tout disque ouvert (non vide), si petit soit-il, intersecte (une infinité de) un élément de A. Evidemment, aucun des points de A n'est un point d'accumulation, puisque C est séparé (je peux isoler chacun des points de tous les autres, dans sa propre boule de rayon assez petit).
2) Si f=g sont deux fonctions holomorphes sur un ouvert connexe U qui coincident sur un ensemble ayant un point d'accumulation dans U, alors f=g sur U tout entier.

Question : Est-ce qu'il existe un complexe dans l'ouvert (simplement) connexe U = D(0,1) qui soit un point d'accumulation de notre ensemble A ?

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 08-02-21 à 18:45

Merci Ulmière pour toutes ces explications

J'ai imprimé ton post !

J'aurais tendance à parler de 1 comme point d'accumulation ( il est la limite de la suite) mais 1 n'appartient pas au disque unité ouvert....

Posté par
Ulmierere : fonctions holomorphes 08-02-21 à 18:58

Effectivement.
Cours sur les similitudes directes, si z est un complexe correspondant à l'affixe d'un point du plan, que dire du point d'affixe z.exp(i.theta) ?
A l'aide de la réponse à cette question, je te demande de me dire comment se répartissent tes points sur le cercle de rayon 1-2^{-\alpha n} ? Uniformément ?

*tousse* *tousse* rotation rationnelle ou irrationnelle ?  *tousse* *tousse* *tousse*

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 09-02-21 à 00:37

Les points sont les sommets d' un polygone régulier à 2 puissance bêta . n côtés .

Avec angles (OM1,OM2)=(OM2,OM3)=.......=2pi/2^(bêta.n)    

D' où 2 puissance bêta .n doit être entier

Non ?

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 09-02-21 à 13:08

D' où ma fonction serait une similitude directe ?

Posté par
Ulmierere : fonctions holomorphes 09-02-21 à 16:53

Non, beta n'a aucune raison d'être entier et 2^beta n'a aucune raison non plus d'être rationnel.

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 09-02-21 à 22:14

Merci Ulmière mais l'énoncé disait :"Décrire tous alphas et bêta positifs tels que ....."

Du coup , alpha et bêta appartiennent à R+*?

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 10-02-21 à 22:02

Excusez moi d' insister mais je suis toujours coincée sur les ensembles dans lesquels appartiennent alpha et bêta pour répondre à la question

Merci beaucoup

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 25-02-21 à 17:14

Bonjour je reviens sur ce post car j'ai eu la correction de mon exercice

Je pense que cette correction pourra éclairer des matheux et notamment ceux qui ont
eu la gentillesse d'essayer de m'aider

Voici la réponse : Par la condition de Blaschke et par le théorème de Blaschke, il est nécessaire et suffisant que :
             oo > \sum{1-\left|(1-2^{-\alpha n}})exp(2\pi ik2^{-\beta n}) \right|}
    =\sum{2^{-\alpha n}} = \sum{2^{-\alpha n}}\sum{1}

   Donc il faut que : \sum{2^{(\beta -\alpha )n}} < oo
     Ceci est vrai ssi \beta <\alpha

oo veut dire " l'infini"
n>=1
0\leqk<^{\beta n}

Voilà donc il me semblait bien qu'il y avait une condition sur alpha et bêta et que tous ne pouvaient pas convenir!

^{\beta n}

Posté par
louetcharlesre : fonctions holomorphes 25-02-21 à 17:16

Petite coquille : 0\leq k<2^{\beta n}

Excusez moi


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