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Fonctions sinus cosinus

Posté par tibo1 (invité) 30-03-05 à 18:23

Bonjour à tous!

Déjà merci à tous de m'avoir aidé plusieurs fois, vous m'avez été d'un grand secours!
Alors voilà, encore un problème à mon DM de maths qui est à rendre lundi.. Voici l'énoncé de l'exercice!

1) On donne sin(a+b)=sin a.cos b+sin b.cos a
En déduire sin(a-b) => question simple déjà faite

2) Etablir la relation 2sin a.cos b=sin(a+b)+sin(a-b)
=> déjà fait aussi

Et la dernière question qui tue..
3) En déduire que:
2sin /7 (cos /7 + cos 3/7 + cos (5/7) = sin 6/7

puis la valeur de cos /7 - cos 2/7 + cos 3/7

Voilà, j'ai essayé plusieurs développements à partir des relations établies dans les questions 1 et 2 mais je n'arrive pas à résoudre la question 3..
Si vous avez une idée de la méthode à adopter, merci de m'aider!

Posté par
Flo_64re : Fonctions sinus cosinus 30-03-05 à 18:32

développe et utilise la réponse de la question 2

2sinpi/7cospi/7+2sinpi/7cos3pi/7+2sinpi/7cos5pi/7=
sin(pi/7+pi/7)+sin(pi/7-pi/7)+sin(pi/7+3pi/7)+sin(pi/7-3pi/7)+sin(pi/7+5pi/7)+sin(pi/7-5pi/7)=
sin(2pi/7)+0+sin(4pi/7)+sin(-2pi/7)+sin(6pi/7)+sin(-4pi/7)=
sin(2pi/7)+sin(4pi/7)-sin(pi/7)+sin(6pi/7)-sin(4pi/7)=sin(6pi/7)

car sin(-x)=-sin(x) symétrie du sinus

Posté par dolphie (invité)re : Fonctions sinus cosinus 30-03-05 à 18:34

salut,

commencons par développer:
2sin(\frac{\pi}{7})(cos(\frac{\pi}{7})+coss(\frac{3\pi}{7})+cos(\frac{5\pi}{7}))= 2sin(\frac{\pi}{7})cos(\frac{\pi}{7})+2sin(\frac{\pi}{7})cos(\frac{3\pi}{7})+2sin(\frac{\pi}{7})cos(\frac{5\pi}{7})
On paplique alors la relation établie à la question (2):
2sin(\frac{\pi}{7})(cos(\frac{\pi}{7})+coss(\frac{3\pi}{7})+cos(\frac{5\pi}{7}))= sin(\frac{2\pi}{7})+sin(0)+sin(\frac{4\pi}{7})+sin(\frac{-2\pi}{7})+sin(\frac{6\pi}{7})+sin(\frac{-4\pi}{7})

Puis ne pas oublier que sin(-x)=sin(x)!
par conséquent, les termes s'annulent deux à deux, il ne reste plus que:
2sin(\frac{\pi}{7})(cos(\frac{\pi}{7})+coss(\frac{3\pi}{7})+cos(\frac{5\pi}{7}))= sin(\frac{6\pi}{7})

Posté par
Flo_64re : Fonctions sinus cosinus 30-03-05 à 18:35

dolphie tu as écris l'inverse
sin(-x)=-sin(x) tu as oublié le -

Posté par
mauricettere : Fonctions sinus cosinus 30-03-05 à 18:36

alors
2 sin pi/7(cos pi/7 + cos 3pi/7 + cos 5pi/7)
= 2 sin pi/7 cos pi/7 + 2 sin pi/7 (cos 3pi/7 + cos 5pi/7)
= sin 2pi/7 + sin 0 + 2 sin pi/7 (cos 3pi/7 + cos 5pi/7)
= sin 2pi/7 + 2 sin pi/7 * cos 3pi/7 + 2 sin pi/7 * cos 5pi/7)
= sin 2pi/7 + sin 4pi/7 + sin -2pi/7 + sin 6pi/7 + sin -4pi/7

or sin x = - sin (-x)
d'ou ta relation

Posté par tibo1 (invité)re : Fonctions sinus cosinus 30-03-05 à 18:36

Merci pour vos réponses!

Posté par dolphie (invité)re : Fonctions sinus cosinus 30-03-05 à 18:40

Pour la suite,

il faut remarquer que:
*\frac{6\pi}{7}=\pi-\frac{\pi}{7}
et par conséquent:
sin(\frac{6\pi}{7})=sin(\frac{\pi}{7}) car sin(\pi-x)=sin(x)
*cos(\frac{2\pi}{7}=cos(\pi-\frac{5\pi}{7})=-cos(\frac{5\pi}{7} car cos(\pi-x)= -cos(x)
ainsi:
cos(\frac{\pi}{7}-\cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{3\pi}{7})=cos(\frac{\pi}{7}+\cos(\frac{3\pi}{7})+cos(\frac{5\pi}{7})= \frac{1}{2}

Posté par tibo1 (invité)re : Fonctions sinus cosinus 30-03-05 à 19:17

Pourquoi 1/2 à la fin?!

Posté par dolphie (invité)re : Fonctions sinus cosinus 30-03-05 à 19:31

et bien car d'après l'églité précédente,
cos(")-cos(")+cos(") = sin(6pi/7)/(2sin(pi/7))
et sin(pi/7)=sin(6pi/7)...


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