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Fonctions trigonométriques

Posté par
matheux14 06-11-21 à 13:40

Bonjour,

1) Calculer la dérivée des fonctions j(x)= Arc \tan (\sin 3x)

2) Soit f : x \mapsto arc \sin \left(\dfrac{1}{\cos h (x)}\right)-arc \sin \left(\dfrac{\sin h (x)}{\cos h (x)}\right). Calculer f'. En déduire l'expression de f.

2) j(x) = [f \circ g] (x) avec f(x) = arc tan x et g(x) = sin 3x

\left([f \circ g] (x)  \right)' = \left([f' \circ g] (x)  \right) * g'(x)

*f'(x) = \dfrac{1}{x²+1} et g'(x) = 3 \cos 3x

Donc \left([f \circ g] (x)  \right)' = \dfrac{1}{9 \cos² 3x +1}*3 \cos 3x

j'(x) = \dfrac{3 \cos 'x}{ç \cos² 3x +1}

2) f'(x) =\left(arc \sin \left(\dfrac{1}{\cos h (x)}\right)-arc \sin \left(\dfrac{\sin h (x)}{\cos h (x)}\right)\right)'

f'(x) = \left[arc \sin \left(\dfrac{1}{\cos h (x)}\right) \right]' - \left[arc \sin \left(\dfrac{\sin h (x)}{\cos h (x)}\right) \right]'

Posons P(x) =arc \sin \left(\dfrac{1}{\cos h (x)}\right) et G(x) =arc \sin \left(\dfrac{\sin h (x)}{\cos h (x)}\right)

P'(x) =\left[arc \sin \left(\dfrac{1}{\cos h (x)}\right)\right]'

p(x) = [p_{1} \circ p_{2}](x) avec p1(x) = arc sin x et p_2 (x) = \dfrac{1}{\cos h x}

p'(x)=\left([p_{1} ' \circ p_{2}] (x)  \right) * p_{2} '(x)

p' _{1} (x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x²}} et p'_{2} (x) =\dfrac{\sin h (x)}{\cos h ²(x)}

D'où p'(x) =\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{\cos h² (x)}}} * \dfrac{\sin h (x)}{\cos h² (x)}

*g(x) = [g_{1} \circ g_{2}](x) avec g_{1} (x) = arc \sin(x) et g_{2} (x) = \dfrac{\sin h (x)}{\cos h(x)}

g'(x)=\left([g_{1} ' \circ g_{2}] (x)  \right) * g_{2} '(x)

g'{1} (x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x²}} et p'_{2} (x) = \dfrac{\sin h' (x) \cos h x - \sin h (x) \cos h '(x)}{\cos h ² (x)} = \dfrac{\cos h ² (x) - \sin h ² (x)}{\cos h² (x)} = \dfrac{1}{\cos h² (x)}

g'(x)= \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\sin h(x)}{\cos h (x)}}} * \dfrac{1}{\cos h² (x)}

f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{\cos h² (x)}}} * \dfrac{\sin h (x)}{\cos h² (x)} - \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\sin h(x)}{\cos h (x)}}} * \dfrac{1}{\cos h² (x)}

Mais il me semble que Geogebra ne me confirme pas..

Sinon, comment faire pour trouver l'expression de f ?

Posté par
carpediemre : Fonctions trigonométriques 06-11-21 à 13:46

salut

il y a évidemment plein de simplifications à faire !!!

connaissant les propriétés algébriques des fonctions cosh et sinh ...

toutes ces formules avec des primes sont inutiles et une perte de temps ...

1/est faux ... entre autre ...

Posté par
matheux14re : Fonctions trigonométriques 06-11-21 à 13:55

Oups c'est une erreur de frappe j'(x) = \dfrac{3 \cos 3x}{9 \cos² 3x +1}

Posté par
carpediemre : Fonctions trigonométriques 06-11-21 à 14:03

faux ...

Posté par
matheux14re : Fonctions trigonométriques 06-11-21 à 16:25

Oui désolé c'est j'(x) = \dfrac{3 \cos 3x}{\sin² 3x +1}

Pour la deuxième dérivée je dois mettre au même dénominateur ?

Posté par
matheux14re : Fonctions trigonométriques 06-11-21 à 21:45

Fonctions trigonométriques

f' est celle donnée par géogebra et g(x) est celle que je trouve..

Pourtant je n'ai pas fait d'erreur

Comment trouver l'expression de la fonction f ?

Posté par
carpediemre : Fonctions trigonométriques 06-11-21 à 22:49

carpediem @ 06-11-2021 à 13:46

il y a évidemment plein de simplifications à faire !!!

connaissant les propriétés algébriques des fonctions cosh et sinh ...

Posté par
matheux14re : Fonctions trigonométriques 07-11-21 à 09:56

f'(x) = \dfrac{\sqrt{e^{-x} \cos h(x) ^{3}}-\cos h (x)}{\sqrt{e^{-x} \cos h^5 (x)}

Posté par
matheux14re : Fonctions trigonométriques 07-11-21 à 10:03

f'(x) = \dfrac{\sqrt{e^{-x} \cos h ^{3}(x)} - \cos h(x)}{\sqrt{e^{-x} \cos h^{5}(x)}}

Posté par
carpediemre : Fonctions trigonométriques 07-11-21 à 12:12

je ne sais pas si c'est exact mais on peut encore simplifier : dans les racines tout d'abord puis la fraction ensuite ...

Posté par
carpediemre : Fonctions trigonométriques 07-11-21 à 12:12

mais si c'est la 2/ je suis étonnée de ne pas voir de somme ...

Posté par
matheux14re : Fonctions trigonométriques 07-11-21 à 12:22

D'accord mais est-ce qu'uo est nécessaire d'avoir une somme et pourquoi ?

Posté par
carpediemre : Fonctions trigonométriques 07-11-21 à 12:25

si f = u + v alors f' = u' + v' ...

Posté par
matheux14re : Fonctions trigonométriques 07-11-21 à 18:59

Je crois que la forme la plus simplifiée est : \dfrac{\sqrt{e^{-x} cos h(x)}-1}{\sqrt{e^{-x} \cos h ^3(x)}} à moins qu'on utilise la forme exponentielle pure..

Posté par
matheux14re : Fonctions trigonométriques 09-11-21 à 09:36

Bonjour, j'ai revérifié les calculs et je trouve :

f'(x) = \dfrac{-\sin h (x) +\sin h² (x) |\sin h(x)| -\cos h²(x) |\sin h(x)|}{|\sin h(x)| \cos h(x)}

\forall x \ge 0 ; \sin h(x) \ge 0 \Rightarrow |\sin h(x)|= \sin h(x) donc f'(x)=-\dfrac{2}{\cos h(x)}

\forall x \le 0 ; \sin h(x)\le 0 \Rightarrow |\sin h(x)| \le 0 il vient f'(x) = 0

Posté par
matheux14re : Fonctions trigonométriques 09-11-21 à 09:48

\forall x \le 0 ; f'(x) = 0 \iff f(x) = k ; k \in \R

On calcul f(0) =  arc \sin \left(\dfrac{1}{\cos h (0)}\right)-arc \sin \left(\dfrac{\sin h (0)}{\cos h (0)}\right)=arc \sin (1)-arc \sin (0) = \dfrac{\pi}{2}

Donc \forall x \le 0 ; f(x) = \dfrac{\pi}{2}.

Et \forall x \ge 0 ; f(x) = arc \sin \left(\dfrac{1}{\cos h (x)}\right)-arc \sin \left(\dfrac{\sin h (x)}{\cos h (x)}\right)


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