Bonsoir,
cet exercice est composé de deux parties.
Je commence par la partie A à savoir :
Soit u la fonction définie sur ]0 ; + infini[ par u(x) = ln(x)+2x-2
1) déterminer les limites de la fonction u aux bornes de son ensemble de définition
2)en déduire l'existence d'éventuelles asymptotes à la courbe représentative de u
3) justifier que la fonction u est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+ infini[
4) démontrer que l'équation u(x) = 0 admet une unique solution
5) en déduire le signe de u(x) sur ]0 ; + infini[
Voici ce que j'ai fait. J'essaie de m'améliorer car je n'ai pas eu de bonnes notes sur les fonctions ln
1) j'ai toujours eu des difficultés avec les limites
pour limite x tend vers 0 :
lim lnx= - infini lim 2x=0 donc je dirai que lim u(x)= - infini
pour limite x tend vers plus infini :
lim lnx = + infini lim 2x= + infini donc lim u((x)= + infini
2) je ne sais pas comment on fait mais d'après ma calculatrice je dirai qu'il y a une asymptote verticale (mais je voulais savoir si on prenait u(x) ou la dérivée car si je prend la dérivée je dirai une asymptote horizontale
3) comme la fonction u(x) ln(x)+2x-2 est dérivable sur]0 ; + infini[ u'(x)=1/x+2
en tant que fonctions dérivables sur ]0 ; + infini[ De plus, pour tout réel x>0
u'(x) est strictement positif. Par suite, la fonction u(x) est strictement croissante sur ]0 ; + infini[
4) l'équation u(x)=0 admet une unique solution (j'ai trouvé 3,79878)
5) en déduire le signe de u(x) sur ]0 ; + infini[
x 0 1 + infini
u'(x) + 3 +
u(x) flèche montante
MERCI de me corriger et de me donner des explications
Bonsoir
limite en 0 -\infini et en
On a une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées (autrement dit « verticale »)
en si la fonction n'est pas définie pour cette valeur et la limite est infinie.
dérivée strictement positive donc strictement croissante
solution unique application du TVI
Vous n'avez pas répondu à la dernière question
Re,
Pour les limites c'est bon ce que j'ai fait donc ?
POUR le 2)
ok pour l'asymptote verticale (donc on prend la fonction u(x)
je ne comprend pas ce que tu veux dire par :
"en x_0 si la fonction n'est pas définie pour cette valeur et la limite est infinie. "
pour la question 4
u(x) est continue (car dérivable ) et strictement croissante sur ]0;+ infini[
l'équation u(x) admet une unique solution ]0;+ infini[
d'aprés le corolaire du TVI calculatrice :3,79878
c'est bien ça ?
question 5) la fonction u(x) est dérivable sur]0;+ infini[ en tant que somme de fonctions dérvaible sur ]0;+ infini[
x>0 u'(x) = 1/x+2 donc 1/x supérieur à 0 donc la fonction est croissante
x 0 1 + infini
u'(x) + 3 +
u(x) flèche montante
Merci de me donner des précisions si besoin
la fonction est
est asymptote à la courbe représentative de la fonction si
deux conditions
on ne peut calculer l'image de donc non définie en
et
définie en alors on connaît son image et il ne peut être question d'asymptote
Si sa limite n'est pas infinie alors on doit pouvoir prolonger la fonction par continuité en donc là aussi pas question de droite.
4 oui rédaction classique
question 5 voir supra pour mais ce que vous appelez question 5 est en réalité question 3
pour la question il s'agit du signe de et non de
donc ceci
en dessous de 0 double barre
Re,
donc je reprend l'ensemble :
1)
limite x tend vers 0 :
lim lnx= - infini lim 2x=0 donc je dirai que lim u(x)= - infini
pour limite x tend vers plus infini :
lim lnx = + infini lim 2x= + infini donc lim u((x)= + infini
2) il y a une asymptote verticale
3)
comme la fonction u(x) ln(x)+2x-2 est dérivable sur]0 ; + infini[ u'(x)=1/x+2
en tant que fonctions dérivables sur ]0 ; + infini[ De plus, pour tout réel x>0
u'(x) est strictement positif. Par suite, la fonction u(x) est strictement croissante sur ]0 ; + infini[
4)
u(x) est continue (car dérivable ) et strictement croissante sur ]0;+ infini[
l'équation u(x) admet une unique solution ]0;+ infini[
d'aprés le corolaire du TVI calculatrice :3,79878
5) en déduire le signe de u(x) sur ]0 ; + infini[
x 0 + infini
u(x) double trait - + 0 +
MERCI
(j'avoue que je n'ai pas trop compris pour ce que tu as mis :
"deux conditions
on ne peut calculer l'image de x0 donc non définie en x0
et lim u(x)= infini
x tend vers x0
définie en x_0 alors on connaît son image et il ne peut être question d'asymptote
Si sa limite n'est pas infinie alors on doit pouvoir prolonger la fonction par continuité en x_0 donc là aussi pas question de droite. "
si tu pouvais me donner un exemple chiffré pour que je comprenne un peu mieu
Encore un grand MERCI
Pourquoi 2 + dans la question 5
si et si
Déterminons les limites de u
en 0
en
question 2
L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de u car u n'est pas définie en 0 et la limite quand tend vers 0 est
3 est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle
comme somme de deux réels strictement positifs on en déduit que u est une fonction strictement croissante.
4u est une fonction strictement croissante sur et par conséquent il existe un unique tel que
À la calculatrice, on trouve
5 Nous pouvons en déduire :
exemple soit la fonction elle n'est pas définie en 0 mais pour autant il n'y a pas d'asymptote car
donc la seconde condition n'est pas remplie
si existe alors les deux conditions ne sont pas remplies
Re,
dans ma dernière réponse je n'ai pas mis de 2+ ?
OK MERCI
donc pour la question 5 quand on dit de déduire le signe de u(x) sur ]0;+ infini[
on met ce que tu as noté
MERCI (bonne soirée)
Pour les limites il fallait bien dire ce que vous faisiez du +2
ou autre formulation signifiant la même chose ou le tableau 20:19
Re,
ok merci beaucoup
Bonne soirée et encore un grand merci pour votre aide (vous et toutes les personnes du site)
Bonjour,
là je voulais recopier mon exercice et je pense que hekla tu as fait une erreur avec l'énoncé c'est noté :
u(x) = ln(x)+2x-2
je reviens sur les limites
en 0
lim lnx=- ok mais après lim 2x-2 et non lim 2x+2 donc ça fait bien -2
donc lim u(x) tu as mis - mais là je suis perdue car -*-2
ça donne quoi alors (je dirai + mais je ne sais pas )
pour + ok pour lim lnx=+ mais je ne sais pas pour lim 2x-2
MERCI
Exact mais cela n'avait aucune influence réécrivons les limites
On a une somme pas un produit
En 0
en
question 2
L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de u car u n'est pas définie en 0 et la limite quand tend vers 0 est
Re,
devant mes nombreuses lacunes (je pense que je n'ai pas assez travaillé avant)
pour les ln(x) c'est bon c'est à savoir par coeur
mais peux-tu m'expliquer pour
lim 2x-2 comment on fait pour x tend vers 0 c'est bon je remplace x par 0
mais pour + comment savoir comme pour ici
lim 2x-2=+ (est-ce toujours + ou dans quel cas c'est -)
Merci j'essaie de comprendre pour la suite
MERCI
Si vous avez à chercher la limite d'une fonction en un point où elle est définie alors cette limite est l'image de cette valeur
en 0 est une fonction affine par conséquent elle est définie sur
Si vous dites que tend vers alors il est manifeste que tend aussi vers et tend aussi vers quand tend vers
Une fonction est définie en un point lorsque l'on peut calculer son image
Il y a un problème avec les fractions : dénominateur non nul
les racines carrées radicande positif
les logarithmes l'expression dont on prend le logarithme doit être strictement positif
Re,
ok
encore une petite question sur les limites
ici en O
on a
lim lnx=- infini lim 2x-2=-2 je ne comprends pas pourquoi on obtient - infini
tu avais mis
lim lnx=- infini lim 2x-2=--2 donc lim u(x)= lim lnx+lim 2x-1 = - infini +(-2) = - infini
donc - infini -2=-infini
petite question et si c'était lim 2x+2 on aurait eu 2 donc - infini +(+2) on aurait eu quoi comme réponse
MERCI
ce que j'avais écrit car
Limite de fonctions et asymptotes : résumé
Étudiez cette page et venez ensuite poser toutes vos questions quand vous aurez terminé l'exercice.
Re,
ok je vais voir ce résumé
donc - infini +(-2)= - infini
et si j'avais eu - infini +(+2) c'était quoi ?
autre question en recopiant car j'essaie de mieux comprendre
dans la question 4)
4) démontrer que l'équation u(x) = 0 admet une unique solution
ici on ne peut remplacer u(x) =0 donc on est bien d'accord que c'est 1
MERCI
quelle que soit la valeur du nombre réel
si on aura bien sûr
4) le but de la question est de résoudre l'équation mais on ne sait pas le faire donc on passe par le TVI
est une fonction dérivable strictement croissante sur
il existe une unique valeur telle que .
En remarquant que par conséquent
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