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fontion LN

Posté par
Nelcar
19-01-21 à 18:35

Bonsoir,
cet exercice est composé de deux parties.
Je commence par la partie A à savoir :
Soit u la fonction définie sur ]0 ; + infini[ par u(x) = ln(x)+2x-2
1) déterminer les limites de la fonction u aux bornes de son ensemble de définition
2)en déduire l'existence d'éventuelles asymptotes à la courbe représentative de u
3) justifier que la fonction u est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+ infini[
4) démontrer que l'équation u(x) = 0 admet une unique solution
5) en déduire le signe de u(x) sur  ]0 ; + infini[

Voici ce que j'ai fait. J'essaie de m'améliorer car je n'ai pas eu de bonnes notes sur les fonctions ln

1) j'ai toujours eu des difficultés avec les limites
pour limite x tend vers 0 :
lim lnx= - infini      lim 2x=0     donc je dirai que lim u(x)= - infini
pour limite x tend vers plus infini :
lim lnx = + infini   lim 2x= + infini donc lim u((x)= + infini
2) je ne sais pas comment on fait mais d'après ma calculatrice je dirai qu'il y a une asymptote verticale (mais je voulais savoir si on prenait u(x) ou la dérivée car si je prend la dérivée je dirai une asymptote horizontale
3) comme la fonction u(x) ln(x)+2x-2 est dérivable sur]0 ; + infini[  u'(x)=1/x+2
en tant que fonctions dérivables sur  ]0 ; + infini[ De plus, pour tout réel x>0
u'(x) est strictement positif. Par suite, la fonction u(x) est strictement croissante sur ]0 ; + infini[
4)  l'équation u(x)=0 admet une unique solution (j'ai trouvé 3,79878)
5) en déduire le signe de u(x) sur ]0 ; + infini[

x   0                        1                        + infini

u'(x)           +         3                  +

u(x)   flèche montante

MERCI de me corriger et de me donner des explications

Posté par
hekla
re : fontion LN 19-01-21 à 18:46

Bonsoir

limite en 0 -\infini  et en +\infty,\  +\infty

On a une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées (autrement dit  « verticale »)

  en  x_0 si la fonction  n'est pas définie pour cette valeur et la limite est infinie.


dérivée strictement positive  donc strictement croissante

solution unique application du TVI

Vous n'avez pas répondu à la dernière question

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 19-01-21 à 19:58

Re,
Pour les limites c'est bon ce que j'ai fait donc ?
POUR le 2)
ok pour l'asymptote verticale (donc on prend la fonction u(x)
je ne comprend pas ce que tu veux dire par :
"en x_0 si la fonction  n'est pas définie pour cette valeur et la limite est infinie. "
pour la question 4
u(x) est continue (car dérivable ) et strictement croissante sur ]0;+ infini[
l'équation u(x) admet une unique solution ]0;+ infini[
d'aprés le corolaire du TVI calculatrice :3,79878
c'est bien ça ?
question 5) la fonction u(x) est dérivable sur]0;+ infini[  en tant que somme de fonctions dérvaible sur ]0;+ infini[
x>0  u'(x) = 1/x+2 donc  1/x  supérieur à 0 donc la fonction est croissante

x   0                        1                        + infini

u'(x)           +         3                  +

u(x)   flèche montante

Merci de me donner des précisions si besoin

Posté par
hekla
re : fontion LN 19-01-21 à 20:19

 u(x) \in \R  la fonction est  u

 x=x_0 est asymptote à la courbe représentative de la fonction si

deux conditions  

on ne peut calculer l'image de x_0 donc non définie en x_0

et  \displaystyle \lim_{x\to x_0}u(x)= \infty

définie en x_0 alors on connaît son image et il ne peut être question  d'asymptote

Si sa limite n'est pas infinie  alors on doit pouvoir prolonger la fonction par continuité  en x_0 donc là aussi pas question de droite.
4 oui  rédaction classique
question 5 voir supra pour u  mais ce que vous appelez question 5 est en réalité question 3

pour la question il s'agit du signe de u(x) et non de u'(x)
donc ceci
fontion LN
en dessous de 0 double barre

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 19-01-21 à 20:57

Re,
donc je reprend l'ensemble :
1)
limite x tend vers 0 :
lim lnx= - infini      lim 2x=0     donc je dirai que lim u(x)= - infini
pour limite x tend vers plus infini :
lim lnx = + infini   lim 2x= + infini donc lim u((x)= + infini

2) il y a une asymptote verticale

3)
comme la fonction u(x) ln(x)+2x-2 est dérivable sur]0 ; + infini[  u'(x)=1/x+2
en tant que fonctions dérivables sur  ]0 ; + infini[ De plus, pour tout réel x>0
u'(x) est strictement positif. Par suite, la fonction u(x) est strictement croissante sur ]0 ; + infini[

4)  
u(x) est continue (car dérivable ) et strictement croissante sur ]0;+ infini[
l'équation u(x) admet une unique solution ]0;+ infini[
d'aprés le corolaire du TVI calculatrice :3,79878

5) en déduire le signe de u(x) sur ]0 ; + infini[

x   0                                                                                               + infini


u(x)   double trait    -        +                  0                           +

MERCI
(j'avoue que je n'ai pas trop compris pour ce que tu as mis :
"deux conditions  

on ne peut calculer l'image de x0 donc non définie en x0

et lim u(x)= infini
  x tend vers x0
définie en x_0 alors on connaît son image et il ne peut être question  d'asymptote

Si sa limite n'est pas infinie  alors on doit pouvoir prolonger la fonction par continuité  en x_0 donc là aussi pas question de droite. "
si tu pouvais me donner un exemple chiffré pour que je comprenne un peu mieu

Encore un grand MERCI

Posté par
hekla
re : fontion LN 19-01-21 à 21:24

Pourquoi 2 + dans la question 5

si x\in]0~;~~\alpha[ \ u(x)<0 et si x\in ]\alpha~;~+\infty[\ u(x)>0


Déterminons les limites de u

en 0 \displaystyle \lim_{x\to 0}\ln x=-\infty,\quad \lim_{x\to 0} 2x+2=2,\ $donc$ \lim_{x\to 0}u(x)=-\infty

en +\infty,\quad \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty} 2x+2=+\infty,\ $donc$ \lim_{x\to +\infty}u(x)=+\infty

question 2
L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de u car u n'est pas définie en 0 et la limite quand u tend vers 0 est -\infty

3 u est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables  sur cet intervalle

 u'(x)=\dfrac{1}{x}+2  

u'(x)>0 comme somme de deux réels strictement positifs  on en déduit que u est une fonction strictement croissante.

4u est une fonction strictement croissante sur ]0~;~+\infty[   et u(]0~;~+\infty[ )=\R par conséquent il existe  un unique \alpha \in ]0~;~+\infty[  tel que u(\alpha)=0

À la calculatrice, on trouve

5 Nous pouvons en déduire :

 $si$ x\in]0~;~\alpha[ u(x)<0\  $et si$\  x \in]\alpha~;~+\infty[\ u(x)>0



exemple  soit f la fonction x\mapsto \dfrac{x^2}{x}  elle n'est pas définie en 0 mais pour autant il n'y a pas d'asymptote car

\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=0  donc la seconde condition n'est pas remplie

si f(x_0) existe alors \displaystyle \lim_{x\to x_0}t(x)=f(x_0) les deux conditions ne sont pas remplies

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 19-01-21 à 22:04

Re,
dans ma dernière réponse je n'ai pas mis de 2+ ?

OK MERCI
donc pour la question 5 quand on dit de déduire le signe de u(x) sur ]0;+ infini[
on met ce que tu as noté

MERCI (bonne soirée)

Posté par
hekla
re : fontion LN 19-01-21 à 22:15

Pour les limites il fallait bien dire ce que vous faisiez du +2
  ou autre formulation signifiant la même chose  ou le tableau  20:19

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 19-01-21 à 22:36

Re,

ok merci beaucoup

Bonne soirée et encore un grand merci pour votre aide (vous et toutes les personnes du site)

Posté par
hekla
re : fontion LN 19-01-21 à 22:43

Bonne soirée

de rien

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 20-01-21 à 11:42

Bonjour,
là je voulais recopier mon exercice et je pense que hekla tu as fait une erreur avec l'énoncé c'est noté :
u(x) = ln(x)+2x-2
je reviens sur les limites
en 0
lim lnx=-   ok mais après lim 2x-2 et non lim 2x+2 donc ça fait bien -2
donc lim u(x) tu as mis - mais là je suis perdue car -*-2
ça donne quoi alors (je dirai + mais je ne sais pas )
pour + ok pour lim lnx=+    mais je ne sais pas pour lim 2x-2

MERCI

Posté par
hekla
re : fontion LN 20-01-21 à 11:50

Exact mais cela n'avait aucune influence  réécrivons les limites
On a une somme pas un produit

En 0  \displaystyle \lim_{x\to 0}\ln x=-\infty,\quad \lim_{x\to 0} 2x-2=-2,\ $donc$ \lim_{x\to 0}u(x)=\lim_{x\to 0}\ln x +\lim_{x\to 0}(2x-2)= -\infty+(-2)=- \infty

en +\infty,\quad \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty} 2x-2=+\infty,\ $donc$ \lim_{x\to +\infty}u(x)=+\infty

question 2
L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de u car u n'est pas définie en 0 et la limite quand u tend vers 0 est -\infty

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 20-01-21 à 12:31

Re,
devant mes nombreuses lacunes (je pense que je n'ai pas assez travaillé avant)
pour les ln(x) c'est bon  c'est à savoir par coeur
mais peux-tu m'expliquer pour
lim 2x-2 comment on fait pour x tend vers 0 c'est bon je remplace x par 0
mais pour + comment savoir comme pour ici
lim 2x-2=+ (est-ce toujours + ou dans quel cas c'est -)
Merci j'essaie de comprendre pour la suite

MERCI

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 20-01-21 à 12:33

re,
pour le 2) comment savoir si u est définie ou non

MERCI

Posté par
hekla
re : fontion LN 20-01-21 à 12:48

Si vous avez à chercher la limite  d'une fonction en un point où elle est définie  alors cette limite est l'image de cette valeur

en 0  f\ :\ x\mapsto2x-2 est une fonction affine par conséquent elle est définie sur \R

 \displaystyle \lim_{x\to 0} (2x-2)=f(0)=2\times 0-2=-2


Si vous dites que  x tend vers +\infty alors il est manifeste que 2x tend aussi vers +\infty et  2x-2 tend aussi vers +\infty   quand x tend vers +\infty


Une fonction est définie en un point lorsque l'on peut calculer son image

Il y a un problème  avec les fractions :  dénominateur non nul

les racines carrées  radicande positif

les logarithmes   l'expression dont on prend le logarithme doit être strictement positif

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 20-01-21 à 13:37

Re,
ok
encore une petite question sur les limites
ici en O
on a
lim lnx=- infini    lim 2x-2=-2    je ne comprends pas pourquoi on obtient - infini
tu avais mis
lim lnx=- infini    lim 2x-2=--2   donc lim u(x)= lim lnx+lim 2x-1 = - infini +(-2) = - infini
donc - infini -2=-infini
petite question et si c'était lim 2x+2 on aurait eu 2 donc - infini +(+2) on aurait eu quoi comme réponse

MERCI

Posté par
hekla
re : fontion LN 20-01-21 à 13:45

ce que j'avais écrit   -\infty car \infty +\ell=\infty



Limite de fonctions et asymptotes : résumé

Étudiez cette page  et venez ensuite poser toutes vos questions  quand vous aurez terminé l'exercice.

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 20-01-21 à 14:17

Re,
ok je vais voir ce résumé  
donc - infini +(-2)= - infini
et  si j'avais eu - infini +(+2) c'était quoi ?

autre question en recopiant car j'essaie de mieux comprendre
dans la question 4)
4) démontrer que l'équation u(x) = 0 admet une unique solution
ici on ne peut remplacer u(x) =0  donc on est bien d'accord que c'est 1

MERCI

Posté par
hekla
re : fontion LN 20-01-21 à 14:32

-\infty + \ell =-\infty quelle que soit la valeur du nombre réel  \ell

si  \ell=+2 on aura bien sûr -\infty

4) le but de la question est de résoudre l'équation \ln x+2x-2=0  mais on ne sait pas le faire donc on passe par le TVI

u est une fonction dérivable strictement  croissante sur \R_+^*

0\in ]-\infty~;~+\infty[ il existe une unique valeur \alpha telle que u(\alpha)=0.

En remarquant que \ln 1+2\times 1-2=0 par conséquent \alpha =1

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 20-01-21 à 14:36

Re,

merci ça commence à aller un peu mieux.

Maintenant je vais reprendre la deuxième partie

MERCI

Posté par
hekla
re : fontion LN 20-01-21 à 14:41

S'il y a encore des questions n'hésitez pas à les poser

De rien

Posté par
Nelcar
re : fontion LN 20-01-21 à 15:22

Re,

OK

MERCI beaucoup



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