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Forme bilinéaire symétrique non-dégénérée
Bonjour, je suis confronté à un délicat vrai ou faux qui me donne du fil à retordre : après en avoir discuté avec des collègues, certains affirment avoir trouvé une preuve mais n'en sont pas sûrs, d'autres prétendent avoir un contre-exemple...
L'énoncé est le suivant : Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, W ⊆ V un sous-espace vectoriel de V, et ⟨⋅,⋅⟩ une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée sur V×V. Alors V=W⊕W⊥.
J'ai personnellement pensé à la forme bilinéaire symétrique définie par la matrice
Le corollaire 2.3 de ce site 
semble s'approcher de l'énoncé mais traite de restriction à un S.E.V
Quelqu'un pourrait-il nous aider à trancher ?
Bonjour. Le lien que tu donnes parle de restriction de la forme bilinéaire à un sous espace oui mais ton énoncé donne en hypothèse que la forme bilinéaire est non dégénérée sur tout l'espace. Donc ton lien implique ton avant exercice.
Quel est le contre exemple de tes collègues ?
Bonjour,
la forme que tu proposes fourni directement un contre-exemple en prenant W=vect((1;1)).
Le corollaire que tu donnes en lien permet de montrer que la propriété est vrai si il n'y a pas de vecteur isotrope, c'est à dire si la forme est bilinéaire symétrique et définie.
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