Bonjour

C'est surtout une question de définition! Comment as-tu défini le sinus et le cosinus d'un nombre complexe? En fait tout part de la définition de l'exponentielle complexe, qui, selon ce qui est admis n'est pas vraiment triviale.
Moi, j'ai toujours défini le cos et le sin complexes par les formules d'Euler à partir de l'exponentielle complexe, après quoi le fait que est purement calculatoire!

bonjour Camélia, et merci beaucoup de ta réponse

bonne question que celle de la définition !
en fait, ce que j'ai trouvé le plus souvent est :
"Ces formules (aussi appelées formules d'Euler) peuvent servir de définition des fonctions trigonométriques de variable complexe x."

ou encore :
"Dans le plan des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi ..."

c'est ce "peuvent servir" qui me gènait;
cela me laissait supposer qu'il y aurait une autre définition - que je n'ai pas - et qui justement permettrait de faire le lien avec la définition via Euler.

je pinaillais sans doute, mais j'aime bien le confort
je m'en tiendrai donc à cette définition.

Salut,

; regarde le petit 2. (bon et aussi le petit 1)

En fait si tu veux le démontrer en "prolongeant la fonction exponentielle" il y a une méthode ultra rapide utilisé pour pas mal de fonction holomorphe (dérivable au sens complexe) notamment pour prolonger la tangente: celui du prolongement analytique.

Effectivement je ne pense pas que ce soit au niveau BTS, après je n'en sais rien au fond, et le lien que j'ai donné explique plutôt bien, de façon continue et petit à petit (un peu à la Ruddin) mais le but est de montrer que la formule d'Euler (avec la définition e(z)=cos(z)+isin(z)) a les MEME ZEROS que celle dans le cas réel. Car dès qu'une fonction holomorphe à les même zéros qu'une autre fonction sur un ensemble comportant au moins un point d'accumulation ( en à une infinité) alors celle-ci est un  (et même LE SEUL, trop fort l'analyse complexe non?) prolongement analytique de la fonction sur .

En d'autre terme savoir ou le cosinus et le sinus s'annulent n'est que simple formalité.
C'est ce qui est fait dans la partie 2 du lien, mais pas trop expliqué je trouve alors je te dis pourquoi ça marche et pourquoi les auteurs vont vite; pour eux c'est trivial. (avec la fonction holomorphe f(z)=e(z)-1 ; car l'exponentielle ne s'annule pas, du coup on décale de 1 et c'est réglé)

Pour plus de clarté je parle de la proposition 15.3

Sinon je ne comprend pas trop ce que tu entend par "interprétation géométrique" ?
Par contre oui, la fonction exponentielle COMPLEXE est périodique alors que la fonction exponentielle réel ne l'est pas! Et on peut effectivement le reprocher aux cosinus et sinus (les fourbes).

+ déso du double poste

http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/new.expo.pdf  

Chez moi le lien ne marchait pas, j'ai même pas vérifier et désolé du triple poste promis j'arrête après ^^

bonjour Jokass,

merci pour le lien et pour tes explications.
je vais prendre le temps de lire tout ça bien attentivement;
(un peu ardu pour moi mais je vais essayer ! à cœur vaillant...)

bonne soirée à vous deux, et merci pour le temps que vous m'avez accordé.

De rien et si tu veux des précisions sur certain passage y'a pas de soucis, par contre je ne te conseil pas trop de tout lire puis qu'après c'est vraiment plus pour pousser dans les maths purs. (par curiosité mais voilà ^^)

En gros je te conseil de tout lire jusqu'à la proposition 15.3 et de lire uniquement l'appendice 4.1 (et d'ignorer les autres choses du coup)