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formule de l'air d'un disque de rayon R (calcul d'intégrale)

Posté par
saviornitho
09-06-09 à 15:50

Bonjour,

je suis en train d'étudier la formule de l'aire d'un disque de rayon R (qui aboutit à r2 ) et il y a une étape que je ne comprends pas...

Après avoir utilisé Pythagore, il faut calculer l'intégrale suivante :
4 (R2-x2) dx    (j'ai rajouté des parenthèse (comme ci-dessous) pour précisier que la racine s'applique à tout ce qui précède dx)

et la réponse de ce calcul d'intégrale donne
= 4 (x/2 (R2-x2) + R2/2 arcsin(x/R)

Pouvez-vous m'expliquez comment on arrive à ce résultat ???
Merci beaucoup !

Posté par
Camélia Correcteur
re : formule de l'air d'un disque de rayon R (calcul d'intégrale 09-06-09 à 15:56

Bonjour

Fais le changement de variable x=Rsin(t)

Posté par
saviornitho
re : formule de l'air d'un disque de rayon R (calcul d'intégrale 09-06-09 à 16:24

Merci beaucoup ! Malheureusement comme je suis nul en math ça ne m'aide qu'à moitié... Seriez-vous d'accord de faire le calcul en entier svp ??

Posté par
Camélia Correcteur
re : formule de l'air d'un disque de rayon R (calcul d'intégrale 09-06-09 à 18:10

x=R\sin(t)

dx=R\cos(t)\ dt

\sqrt{R^2-x^2}=R\cos(t)

\bigint_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}dx=\bigint_{-\pi}^\pi R^2\cos^2(t)dt=R^2\bigint_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2t)}{2}dt=R^2\[\frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{4}\]_{-\pi}^{\pi}

Posté par
abdulla
re : formule de l'air d'un disque de rayon R (calcul d'intégrale 24-12-10 à 01:00

bonsoir ,je voudrais savoir comment on arrive a l'equation de saviornitho avec pythagore

moi j'aurai integrer tout betement la surface du petit triangle ((R*R*d(t))/2)   (avec t un petit angle  , et j'integre de 0 a 2pi) est ce qu'elle est fausse cette methode (elle donne comme meme (pi*R²)

formule de l\'air d\'un disque de rayon R (calcul d\'intégrale

Posté par
Camélia Correcteur
re : formule de l'air d'un disque de rayon R (calcul d'intégrale 24-12-10 à 15:33

Bonjour abdulla, ta méthode n'est pas fausse, mettons qu'elle soit un peu trop "physique", elle demande quand même des justifications.

saviornitho a simplement utilisé le fait général que l'aire de la partie comprise entre l'axe Ox, les droites x=a et x=b et la courbe représentative de y=f(x), vaut \bigint_a^b f(t)dt

Posté par
abdulla
re : formule de l'air d'un disque de rayon R (calcul d'intégrale 24-12-10 à 17:42

merci j'ai compris ! et bon fete !

Posté par
Harrisson
re : formule de l'air d'un disque de rayon R (calcul d'intégrale 11-09-14 à 09:40

bonjour
excusez moi mais je pense qu'il y a une erreur dans la réponse de Carmélia du 09 septembre à 18h10.d'après moi elle a fait une erreur sur les bornes de l'intégrale après le changement de variable.ça devrait être entre -/2 et + /2 et non entre - et .



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