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Formule de Poincaré

Posté par
Yona0404 14-09-23 à 19:40

Bonjour!

On veut montrer la formule de Poincaré avec les fonctions indicatrices.

a) Soient A_1, A_2,...,A_n\in\textrm{P}(X), n\geq 1.
Montrer que:

1_{(\bigcup_{i=1}^{n}{A_i})}= \sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\sum_{I\subset \{ 1,...,n\},card(I)=k}{1_{(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})}}}

b) En déduire, si X est fini, la formule de Poincaré:

card(\bigcup_{i=1}^{n}{A_i})= \sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\sum_{I\subset \{ 1,...,n\},card(I)=k}{card(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})}}


Pour a), j'ai pensé à la récurrence. Mais c'est embêtant:


1_{(\bigcup_{i=1}^{n+1}{A_i})}=1_{(\bigcup_{i=1}^{n}{A_i})}+1_{A_{n+1}} - 1_{(\bigcup_{i=1}^{n}{A_i})\bigcap{A_{n+1}}}\\\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =1_{(\bigcup_{i=1}^{n}{A_i})}+1_{A_{n+1}} - 1_{(\bigcup_{i=1}^{n}{A_i})}* 1_{A_{n+1}}\\\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;= \sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\sum_{I\subset \{ 1,...,n\},card(I)=k}{1_{(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})}}}+1_{A_{n+1}} - (\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\sum_{I\subset \{ 1,...,n\},card(I)=k}{1_{(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})}}})* 1_{A_{n+1}}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;=\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\sum_{I\subset \{ 1,...,n\},card(I)=k}{1_{(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})}}}+1_{A_{n+1}}-\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\sum_{I\subset \{ 1,...,n\},card(I)=k}{1_{(\bigcap_{i\in I}^{}{A_i})\bigcap{A_{n+1}}}}}...



Je ne sais pas comment en tirer l'expression souhaitée.

Merci d'avance!!

Posté par Profil Ramanujanre : Formule de Poincaré 14-09-23 à 20:29

Bonjour,

Je me permets de poster exceptionnellement car je suis sûr à 100% de la réponse

message modéré
Réponse supprimée (voir ici Suite qui converge vers 0 )

Malou edit

Posté par
thetapinch27re : Formule de Poincaré 14-09-23 à 20:31

Bonsoir,

Je n'ai pas regardé les moindres détails mais il me semble que le résultat est proche.

Il reste à "fusionner" les 2 sommes.
* La première somme sur "tout le monde" excepté les ensembles intersectés avec An+1
* La seconde somme sur tous les ensembles qui s'intersectent avec An+1.

Si on regroupe, cela revient bien à une seule somme mais pour I {1, ..., n+1} et avec l'indice k qui peut aller de 1 à n+1.

Bon courage

Posté par
Ulmierere : Formule de Poincaré 14-09-23 à 20:43

Vas-y petit bout par petit bout pour ne pas t'embrouiller avec les indices.
On note C_n = \{1,\cdots, n\} et on remarque que C_{n+1} = C_n \sqcup \{n+1\}.

\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i = \left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\setminus A_{n+1} \sqcup A_{n+1} = \bigcup_{i=1}^n B_i \sqcup A_{n+1}
où B_i = A_i\setminus A_{n+1} = A_i \cap A_{n+1}^c

Donc 1_{\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i} = 1_{A_{n+1}} + \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum_{I\in\mathcal{P}_k(C_n)} 1_{\bigcap_{i\in I} B_i}

Maintenant, je ne vais pas écrire le reste mais c'est dans tes cordes de réintroduire les A_i en écrivant \cap B_i en fonction de \cap A_i, et de faire un changement de variable pour transformer le n en n+1. C'est là que la remarque sur C_n s'applique

Si U est une partie à k+1 éléments de {1,...,n+1} alors
* ou bien U contient n+1 et alors U \ {n+1} est une partie à k éléments de {1,...,n}
* ou bien ce n'est pas le cas et U est une partie à k éléments de {1,...,n}

De même, si U est une partie à k éléments de {1,...,n} alors c'est aussi une partie à k éléments de {1,...,n+1}, et  ou bien U contient n+1 ou bien ce n'est pas le cas.

C'est plus long à écrire correctement qu'à comprendre, maintenant au boulot

Posté par
Ulmierere : Formule de Poincaré 14-09-23 à 20:47

petite coquille, pour la deuxième * de l'antépénulième paragraphe, U est bien-sûr une partie à k+1 éléments, ce qui a du sens parce qu'on est sûr que k <= n

Posté par
Yona0404re : Formule de Poincaré 14-09-23 à 22:27

Bonjour!!
Je vous remercie d'avoir pris la peine de chercher une seconde approche à cet exo. J'ai compris jusqu'à présent que vous avez essayé d'écrire la réunion des Ai comme réunion de deux ensembles disjoints, comme ça le terme qu'on retranche d'habitude disparaisse.
Mais je n'arrive pas à comprendre  la seconde partie, là où il y a U, une partie de {1,...,n+1}, avec les cas possibles:

Citation :
Si U est une partie à k+1 éléments de {1,...,n+1} alors
* ou bien U contient n+1 et alors U \ {n+1} est une partie à k éléments de {1,...,n}
* ou bien ce n'est pas le cas et U est une partie à k éléments de {1,...,n}

De même, si U est une partie à k éléments de {1,...,n} alors c'est aussi une partie à k éléments de {1,...,n+1}, et  ou bien U contient n+1 ou bien ce n'est pas le cas.

...

Posté par
GBZMre : Formule de Poincaré 15-09-23 à 09:45

Bonjour,

Je me permets d'intervenir car tu y étais presque alors qu'Ulmière t'entraîne dans une voie qui à mon avis n'est pas meilleure.
Je récris ce à quoi tu es arrivé, en simplifiant un peu les notations :
- j'utilise |I| pour le cardinal de I,
- j'utilise A_I pour \bigcap _{i\in I} A_i.
Je récris aussi les sommes sans les diviser par paquets suivant le cardinal, c'est plus court.

Tu es donc arrivé à

\Large\sum_{I\subset\{1,\ldots,n\} , I\neq\emptyset}(-1)^{|I|+1}\mathbf 1_{A_I} + \mathbf 1_{A_{n+1}} - \sum_{I\subset\{1,\ldots,n\} , I\neq\emptyset}(-1)^{|I|+1}\mathbf 1_{A_{I\cup\{n+1\}}}

et tu veux arriver à

\Large\sum_{J\subset\{1,\ldots,n+1\} , J\neq\emptyset}(-1)^{|J|+1}\mathbf 1_{A_J}

Posté par
GBZMre : Formule de Poincaré 15-09-23 à 10:48

Pardon, j'aurais dû écrire "arrivée".

Posté par
Yona0404re : Formule de Poincaré 15-09-23 à 11:16

Bonjour!!

Merci pour votre intervention !!

J'ai bien compris les modifications que vous avez effectuées, mais pour que j'arrive à fusionner les deux sommes, je dois d'abord comprendre "leur comportement" (ce n'est peut-être pas le bon mot). Je ne comprends pas d'abord comment c'est sommé, j'ai essayé de développer pas mal de fois, mais ce n'est toujours pas suffisamment clair..

Posté par
GBZMre : Formule de Poincaré 15-09-23 à 11:29

Si tu as bien compris mes notations, ça devrait aller tout seul. Je te suggère de remonter de l'expression à laquelle tu voudrais arriver à celle à laquelle tu es arrivée.
L'expression à laquelle tu voudrais arriver est une somme sur toutes les parties non vides de \{1,\ldots,n+1\}.
Une partie non vide  de \{1,\ldots,n+1\} c'est ou bien une partie non vide de \{1,\ldots, n\}, ou bien une partie qui contient n+1. Je te laisse continuer.


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