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Suite qui converge vers 0

Posté par Profil Ramanujan 08-09-23 à 18:21

Bonjour,

Je bloque sur cet exercice. Je n'arrive pas à démarrer.

Soit (u_n)_{n \in \N} une suite. Montrer que (u_n)_{n \in \N} converge vers 0 si :
1) \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_n}{1+u_n}=0
2) (u_n)_{n \in \N} est bornée et :  \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_n}{1+u_n ^2}=0

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 18:23

salut

à quelle condition un quotient est-il nul ?

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 18:25

une remarque dans le premier cas : écrire cette hypothèse sur le quotient implique donc que u_n ne prenne jamais la valeur -1 ...

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 18:26

ensuite revenir à la définition avec des epsilon ...

Posté par
lionel52re : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 19:05

x/(1+x)=...

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 19:08

Merci ça m'a donné une idée.
Voici une proposition de solution.

1) Comme u_n \longrightarrow 0, il existe un rang n_0 tel que \forall n \geq n_0 \ |u_n| \leq \dfrac{1}{2} donc à partir d'un certain rang u_n +1 ne s'annule pas.
A partir d'un certain rang \dfrac{1}{2} \leq u_n +1 \leq \dfrac{3}{2}
Soit \varepsilon >0
\exists n_1 \in \N \ n \geq n_1 \implies |u_n | \leq \dfrac{\varepsilon}{2}
Soit : n \geq n_2=\max(n_0,n_1).
Alors : |\dfrac{u_n}{1+u_n}| \leq \dfrac{ \varepsilon}{2|1+u_n|}
Mais pour n \geq n_0, on a u_n \geq \dfrac{1}{2}.
Donc : |\dfrac{u_n}{1+u_n}| \leq  \varepsilon
On a montré : \forall \varepsilon >0 \ \exists n_2 \in \N \ n \geq n_2 \implies |\dfrac{u_n}{1+u_n}| \leq \varepsilon.
Finalement : \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_n}{1+u_n} = 0}

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 19:10

tu l'as fait à l'envers :

on te demande de montrer que P si Q

qui se traduit encore par : si Q alors P

tu as confondu hypothèse et conclusion !!

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 19:10

Erreur de frappe : pour n \geq n_0, on a u_n+ 1 \geq \dfrac{1}{2} donc \dfrac{1}{u_n+1} \leq 2.

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 20:06

Oui j'ai confondu.
Lionel52 bien vu. C'était simple.
1) On a : \dfrac{u_n}{1+u_n}=\dfrac{1+u_n-1}{1+u_n}=1-\dfrac{1}{1+u_n} \longrightarrow 1-1=0

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 20:16

Je n'ai pas fini. On utilise les propriétés sur les suites convergentes. Pas besoin de epsilon ici.

On obtient que 1- \dfrac{1}{1+u_n} \longrightarrow 0.
Montrons que (u_n) tend vers 0.
On a donc \dfrac{1}{1+u_n}  \longrightarrow 1
Donc 1+u_n \longrightarrow 1 et enfin u_n \longrightarrox 0

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 20:20

ça c'est quand on (= soi-même) voit l'astuce (que je voulais aussi proposer ...)

mais quand on ne trouve pas d'astuce ben on revient aux fondamentaux : les définitions !!

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 08-09-23 à 20:30

Oui et j'ai réutilisé le même genre d'astuce pour la suite.
Pour le 2 :
u_n = (1+u_n ^2)  \dfrac{u_n}{1+u_n ^2}
Comme (u_n) est bornée, il existe M \in \R^{+} tel que \forall n \in \N \ |u_n| \leq M.
Donc |1+u_n ^2| =1+ u_n ^2 \leq 1+ M^2
Donc |u_n| \leq (1+M^2) \dfrac{|u_n|}{1+u_n ^2} \longrightarrow 0
Car u_n \longrightarrow 0 \implies |u_n| \longrightarrow |0|=0
On utilise aussi que le produit d'une suite bornée pa
Finalement, on a bien (u_n) qui tend vers 0.

Posté par
Rintarore : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 10:14

Bonjour,

Citation :
Donc |u_n| \leq (1+M^2) \dfrac{|u_n|}{1+u_n ^2} \longrightarrow 0
Car u_n \longrightarrow 0 \implies |u_n| \longrightarrow |0|=0


ton argument est pour le moins étrange. Comme déjà dit plusieurs fois, tu cherches à prouver que la suite tend vers 0, donc utiliser le fait qu'elle tende vers 0 pour le prouver : c'est n'importe quoi. Relis toi.

Posté par
lionel52re : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 10:44

Un = Vn(1+Un^2)

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 11:53

Ok merci.
Posons : v_n=\dfrac{u_n}{1+u_n ^2}.
On a u_n = v_n \times (1+u_n ^2).
Mais \exists M \in \R \ \forall n \in \N \ |u_n| \leq M.
Et |1+u_n ^2| \leq 1+ |u_n|^2 \leq 1+M^2 donc la suite (1+u_n ^2) est bornée.
Ainsi : (u_n) est le produit d'une suite bornée par une suite qui tend vers 0 donc (u_n) tend vers 0.

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 13:48

à nouveau tu refais ce que Rintaro et moi-même t'avons dit ...


lionel52 a proposé une méthode qui ne nécessite pas de epsilon pour le 1/

je vais cependant le faire avec epsilon (en utilisant la lettre h pour simplifier)


hypothèse : \lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n} {1 + u_n} = 0

donc par définition pour tout h > 0 il existe N \in \N tel que \foral n \ge N  :  -h \le \dfrac {u_n} {1 + u_n} \le h

maintenant en multipliant par le dénominateur en ne traitant que le cas 1 + u_n > 0 :

-h(1 + u_n) \le u_n \le h(1 + u_n) \Longrightarrow -h \le u_n(1 + h) $ et $ u_n(1 - h) \le h

je te laisse conclure et traiter l'autre cas ...

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 14:08

Ma solution pour 2 de 11h53 est correcte il me semble. J'ai juste utilisé que (u_n) est bornée.

Je n'ai pas compris ta solution avec les epsilons.
Soit h>0 et 1+u_n >0
Il existe N \in \N \ \ n_0 \geq N \implies -h(1+u_n) \leq u_n \leq h(1+u_n).
A partir de là je bloque.
Je ne vois pas comment montrer que -h \leq u_n \leq h

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 15:49

ha oui pardon !!

14h08 :

carpediem @ 09-09-2023 à 13:48

hypothèse : \lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n} {1 + u_n} = 0

donc par définition pour tout h > 0 il existe N \in \N tel que \foral n \ge N  :  -h \le \dfrac {u_n} {1 + u_n} \le h

maintenant en multipliant par le dénominateur en ne traitant que le cas 1 + u_n > 0 :

-h(1 + u_n) \le u_n \le h(1 + u_n) \Longrightarrow -h \le u_n(1 + h) $ et $ u_n(1 - h) \le h

il suffit de faire tendre h vers 0 dans ces deux inégalités ...

et remarquer (pour t'aider à comprendre) que si h > 0 tend vers 0 alors à un moment on a évidemment 0 < h < 1/2

et 1 - h et 1 + h positif

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 16:27

Je ne comprends pas où est passé le 1+u_n.

On a : -h (1+u_n) \leq u_n \leq h(1+u_n) pour n \geq N.
A partir de là je ne comprends plus ce que vous faites.

Posté par
malou Webmasterre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 17:00

Ramanujan, bonjour

Tu désires à nouveau poster chez nous pour poser des questions.
Je te demanderai de ne pas intervenir sur les questions des autres demandeurs, nous n'avons pas du tout envie d'avoir à pister tes réponses éventuellement fausses. Qui plus est, de ta part, les remarques du genre "c'est trivial" (lues il y a quelques minutes) sont totalement insupportables.

Je n'aurai pas la patience d'un "autre site" qui a fini par te bannir. Tu restes sur tes sujets ou tu ne restes pas chez nous, ce qui au passage te permettra d'écrire du mal de notre site comme tu sais si bien le faire, sans aucune reconnaissance de ce que tous les aidants t'avaient consacré comme temps.

admin

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 19:21

Malou
D'accord.

Carpediem.
Je ne comprends pas d'où sort le -h  \leq u_n (1+h) et le u_n (1-h) \leq h

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 19:55

carpediem @ 09-09-2023 à 13:48

hypothèse : \lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n} {1 + u_n} = 0

donc par définition pour tout h > 0 il existe N \in \N tel que \foral n \ge N  :  -h \le \dfrac {u_n} {1 + u_n} \le h

maintenant en multipliant par le dénominateur :

si  1 + u_n > 0  alors -h(1 + u_n) \le u_n \le h(1 + u_n) \Longrightarrow -h \le u_n(1 + h) $ et $ u_n(1 - h) \le h

si  1 + u_n < 0  alors h(1 + u_n) \le u_n \le -h(1 + u_n) \Longrightarrow h \le u_n(1 - h) $ et $ u_n(1 + h) \le -h


quand h tend vers 0 alors N tend vers +oo, 1 - h  et 1 + h tendent vers 1 donc en notant L la limite de la suite (u_n) alors 0 \le L $ et $ L \le 0 $ donc $ L = 0

PS : j'avoue qu'il y a un petit pb : en notant L la limite de la suite (u_n) c'est que donc j'admets qu'elle a une limite !!!

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 19:57

Ramanujan @ 09-09-2023 à 19:21

Je ne comprends pas d'où sort le -h  \leq u_n (1+h) et le u_n (1-h) \leq h
de niveau collège :

-h(1 + u) < u => -h - hu < u => -h < (1 + h)u

Posté par Profil Ramanujanre : Suite qui converge vers 0 09-09-23 à 22:32

Ok mais ici passer aux epsilons c'est prendre un bazooka pour tuer une mouche.
L'exercice se résout aisément sans passer par les epsilons.

Posté par
carpediemre : Suite qui converge vers 0 10-09-23 à 09:40

certainement pas puisque c'est le fondement de la définition des limites !!!

et

carpediem @ 08-09-2023 à 20:20

ça c'est quand on (= soi-même) voit l'astuce (que je voulais aussi proposer ...)

mais quand on ne trouve pas d'astuce ben on revient aux fondamentaux : les définitions !!


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