Niveau terminale

Formule de Stirling

Posté par
elfuego 08-05-12 à 13:37

Bonjour à tous.
Nous aimerions ma classe et moi même une aide sur le dm suivant qui est assez difficile. Merci.

Le but de cet exercice est de démontrer qu'il existe un réel k tel que :

  lim n +[smbi]nfini[/smb] n! / (n (n/e)^n = k

Pour démontrer la formule de Stirling, il resterait à démontrer que k =2 ( ce qui se fait en général avec la formule de Wallis )
La suite n! étant compliquée à étudier du fait des multiplications, une première idée, assez naturelle, est de se ramener aux additions , en étudiant dans un premier temps :
ln n! = ln 1 + ln 2 + .... + ln n

Une deuxieme idée, tout aussi naturelle , est d'évaluer cette suite en la comparant à une intégrale. On definit donc la suite Jn = n à 1  de ln x dx

1. Encadrement de (t+1) à t de ln x dx par la méthode du point median

On considère la figure ci-dessus.La fonction ln étant concave ,on a :

Aire(AA'B'B)(t+1) à t de ln x dx Aire ( AA'DC) + Aire(CEB'B)

En deduire que :

1/2 (ln(t) + ln (t+1) ) (t+1) à t de lnx dx 1/2 (ln(t)+ln(t+1)) + 1/8(1/t - 1/(t+1) )

2.Encadrement de Jn

Deduire de la question 1 que

ln n ! - 1/2 n ln n! -1/2 ln n + 1/8 ( 1-1/n)

Puis que 0Jn + lnn - ln!1/8

3. à l'aide d'une interpretation geometrique, expliquer simplement pourquoi la suite Jn + lnn - ln n! est croissante. Cette suite est donc convergente d'après la question 2 , on note sa limite :

= lim n+ Jn  +lnn -ln n!

4. Calculer Jn à l'aide d'une intégration par parties

5. Déduire des questions 3 et 4 que

lim n+ n!/ n (n/e)^n = e^(1-)

Donner un encadrement de e^(1-)

Comparer avec 2

Merci beaucoup !!

Posté par re : Formule de Stirling 08-05-12 à 17:46

Bonjour,

Je suppose qu' il s' agit de ce genre de figure:

Formule de Stirling

Posté par re : Formule de Stirling 08-05-12 à 18:50

Oui merci !
Avec A (t)
C ( t + 1/2)
B ( t + 1 )

Posté par re : Formule de Stirling 08-05-12 à 19:39

1) L' aire sous la courbe représentative de la fonction $\ln$ limitée par les droites d' équation $x=t$ , $x=t+1$ et l' axe des abscisses soit $\int_{t}^{t+1}\ln\,x\,\text{d}x$ en unités d' aire, est encadrée par:

l' aire du trapèze $AA'B'B$

la somme des aires des trapèzes $AA'DC$ et $CDB'B$

$\text{Aire}_{AA'B'B}=\dfrac{1}{2}\,(AA'+BB')=\dfrac{1}{2}\,\left[\ln\,t+\ln\,(t+1)\right]$

Equation de la tangente à $(C)$ en $A'$ $(A'D)$ :

$y=\dfrac{1}{t}(x-t)+\ln\,t$

Coordonnées de $D$ :

Avec $x_D=t+\dfrac{1}{2}$ , on obtient:

$y_D=\dfrac{1}{2t}+\ln\,t$

Equation de la tangente à $(C)$ en $B'$ $(B'E)$ :

$y=\dfrac{1}{t+1}(x-t-1)+\ln\,(t+1)$

Coordonnées de $E$ :

Avec $x_E=t+\dfrac{1}{2}$ , on obtient:

$y_E=-\dfrac{1}{2(t+1)}+\ln\,(t+1)$

$\text{Aire}_{AA'DC}=\dfrac{1}{4}(AA'+CD)=\dfrac{1}{4}[2\,\ln\,t+\dfrac{1}{2t}]$

$\text{Aire}_{CDB'B}=\dfrac{1}{4}(CD+BB')=\dfrac{1}{4}[2\,\ln\,(t+1)-\dfrac{1}{2(t+1)}]$

On obtient donc l' encadrement:

$\dfrac{1}{2}\left[\ln\,t+\ln\,(t+1)\right]\leq \int_t^{t+1}\ln\,x\,\text{d}x\leq \dfrac{1}{2}\left[\ln\,t+\ln\,(t+1)\right]+\dfrac{1}{8}\left[\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right]$

La suite plus tard ...

Posté par re : Formule de Stirling 08-05-12 à 22:53

2) On somme l' encadrement précédent pour $t$ entier naturel variant de 1 à $n-1$ :

$\dfrac{1}{2}\sum_{t=1}^{n-1}\left[\ln\,t+\ln\,(t+1)\right]\leq \sum_{t=1}^{n-1}\int_t^{t+1}\ln\,x\,\text{d}x\leq \dfrac{1}{2}\sum_{t=1}^{n-1}\left[\ln\,t+\ln\,(t+1)\right]+\dfrac{1}{8}\sum_{t=1}^{n-1}\left[\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right]$

$\dfrac{1}{2}\,\left[\sum_{t=1}^{n-1}\ln\,t+\sum_{t=1}^{n-1}\ln\,(t+1)\right]\leq J_n\leq \dfrac{1}{2}\,\left[\sum_{t=1}^{n-1}\ln\,t+\sum_{t=1}^{n-1}\ln\,(t+1)\right]+\dfrac{1}{8}\,\left[\sum_{t=1}^{n-1}\dfrac{1}{t}-\sum_{t=1}^{n-1}\dfrac{1}{t+1}\right]$

$\dfrac{1}{2}\,\left[\sum_{t=1}^{n-1}\ln\,t+\sum_{t=2}^{n}\ln\,t\right]\leq J_n\leq\dfrac{1}{2}\,\left[\sum_{t=1}^{n-1}\ln\,t+\sum_{t=2}^{n}\ln\,t\right]+\dfrac{1}{8}\,\left[\sum_{t=1}^{n-1}\dfrac{1}{t}-\sum_{t=2}^{n}\dfrac{1}{t}\right]$

$\sum_{t=1}^n\ln\,t-\dfrac{1}{2}\,\ln\,n\leq J_n\leq \sum_{t=1}^n\ln\,t-\dfrac{1}{2}\,\ln\,n+\dfrac{1}{8}\,\left(1-\dfrac{1}{n}\right)$

$\boxed{\ln\,n!-\ln\,\sqrt{n}\leq J_n\leq \ln\,n!-\ln\,\sqrt{n}+\dfrac{1}{8}\,\left(1-\dfrac{1}{n}\right)}$

On en déduit:

$\boxed{0\leq J_n+\ln\,\sqrt{n}-\ln\,n!\leq \dfrac{1}{8}}$

Posté par re : Formule de Stirling 09-05-12 à 10:18

3) Soit $u_n=J_n+\ln\,\sqrt{n}-\ln\,n!$

$u_{n+1}-u_n=J_{n+1}-J_n+\ln\,\sqrt{n+1}-\ln\,\sqrt{n}-\ln\,(n+1)!+\ln\,n!$

$u_{n+1}-u_n=J_{n+1}-J_n+\dfrac{1}{2}\,\ln\,(n+1)-\dfrac{1}{2}\,\ln\,n-\ln\,\left[\dfrac{(n+1)!}{n!}\right]$

$u_{n+1}-u_n=J_{n+1}-J_n+\dfrac{1}{2}\,\ln\,(n+1)-\dfrac{1}{2}\,\ln\,n-\ln\,(n+1)$

$u_{n+1}-u_n=\int_n^{n+1}\ln\,x\,\text{d}x-\dfrac{1}{2}\left[\ln\,n+\ln\,(n+1)\right]$

$u_{n+1}-u_n\geq 0$ d' après 1)

Donc $(u_n)$ est croissante. Etant majorée (par $\dfrac{1}{8}$ ), $(u_n)$ converge vers $\lambda$

4) $J_n=\int_1^n\ln\,x\,\text{d}x$

On pose:

$u=\ln\,x$ et $v'=1$

d'où:

$u'=\dfrac{1}{x}$ et $v=x$

$J_n=\left[x\,\ln\,x\right]_1^n-\int_1^n\text{d}x$

$J_n=n\,\ln\,n-n+1$

5) On a donc $u_n=n\,\ln\,n-n+\ln\,\sqrt{n}-\ln\,n!+1$

$u_n=\ln\,\left[\dfrac{n^n\sqrt{n}}{e^n\,n!}\right]+1$

$u_n=-\ln\,\left[\dfrac{n!}{\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n}\right]+1$

$\ln\,\left[\dfrac{n!}{\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n}\right]=1-u_n$

$\dfrac{n!}{\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n}=e^{1-u_n}$

et en passant à la limite:

$\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{n!}{\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n}=e^{1-\lambda}$

On sait que $(u_n)$ est croissante et que $u_n\leq \dfrac{1}{8}$

Donc pour tout $n\geq 2$ , $u_n\leq \lambda\leq \dfrac{1}{8}$

On en déduit: $e^{\frac{7}{8}}\leq e^{1-\lambda}\leq e^{1-u_n}$

ou encore: $e^{\frac{7}{8}}\leq e^{1-\lambda}\leq \dfrac{n!}{\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n}$

Par exemple, pour $n=20$ , on obtient:

$2.398\leq e^{1-\lambda}\leq 2.518$

On a $\sqrt{2\pi}\approx 2.5066\cdots$

Posté par re : Formule de Stirling 09-05-12 à 19:06

Merci beaucoup pour votre devouement ainsi que votre rapidité !
Passez une bonne fin de soirée et ainsi qu'un agréable continuement

Posté par re : Formule de Stirling 09-05-12 à 19:25

De rien et bonne soirée à toi elfuego

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