Niveau Reprise d'études

formule exponentielle complexe

Posté par
sgu35 05-06-21 à 09:30

Bonjour,
je voudrais savoir comment montrer que $exp(in\theta)=exp(i\theta)^n$ pour tout entier relatif n.
J'ai réussi à le montrer pour tout entier naturel n par récurrence, mais je bloque pour le passage à un entier relatif.

Posté par re : formule exponentielle complexe 05-06-21 à 09:39

bonjour

il suffit que tu le fasses avec n=-1

Posté par re : formule exponentielle complexe 05-06-21 à 09:50

justement, j'ai démontré que $exp(-i\theta)=exp(i\theta)^{-1}$ mais après je bloque.

Posté par re : formule exponentielle complexe 05-06-21 à 09:58

décompose, pour n entier positif en utilisant ce que que tu as fait avant et le cas "-1"

$exp(-i\;n\;\theta)=exp(-i\theta)^{n} =((exp(i\theta))^{-1})^{n} =\cdots$

Posté par re : formule exponentielle complexe 05-06-21 à 10:11

j'essaie une démonstration :
soit $n \in \N, -n \in \Z-$ ,
et $exp(-in\theta)=exp(in\theta)^{-1}$ d'après la propriété $exp(-i\theta)=exp(i\theta)^{-1}$
$=exp(i\theta)^{{n}^{-1}}$ d'après la propriété $exp(in\theta)=exp(i\theta)^{n}$ pour tout $n \in \N$ et tout $\theta \in \R$ ,
$=exp(i\theta)^{-n}$ d'après une propriété sur les puissances : $(z^n)^m=z^{n*m}$

Posté par re : formule exponentielle complexe 05-06-21 à 10:22

m'ouais...

c'est plus convaincant avec la notation conventionnelle

$a^{-k} = \dfrac{1}{a^k}$

$exp(-i\;n\;\theta)=exp(-i\theta)^{n} =((exp(i\theta))^{-1})^{n} =\left(\dfrac{1}{exp(i\theta)}\right)^n = \dfrac{1}{(exp(i\theta))^n} =(exp(i\theta))^{-n}$