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Géométrie
Bonjour j'ai un devoir qui me pose beaucoup de problème voilà l'énoncé:
On considère les doite (d) et (d') suivantes:
(d) : x= 2t y= 3-4t z= 1
(d') : x= 1 y= 2+t' z= 3t'+4
1°) Montrer qui (d) et (d') sont sécantes en un point A dont on donnera les coordonnées.
2*) Soit B(-1;2;3)
a-Montrer qui B n'est pas dans le plan déterminé par es droites (d) et (d').
b-A tout point de (d) de paramètre t,on associe f(t)=BM² .Calculer f(t) et déterminer pour quelle valeur t0 de t,f(t) est minimal.
Que peut-on dire du point H de (d) de paramètre t0?
c-En procédant de même,déterminer le point K de (d') dont la distance à B est minimale.
3°) Montrer que le tétraèdre ABHK est inscrit dans une sphère que l'on déterminera.
Pour la 1ere question j'ai fais:
2t=1
34t=2+t'
1=3t'4
donc t=1/2
t'=-1
Alors x=1 y= 1 z=1
Mais lorsque je vérifie pour (d'),cela ne donne pas le même résultat pour y car je trouve -2 et non 1.
Oui Désolé en effet,donc C'et bon.Mais la suite me pose plus de problème.2)a) : tu peux déterminer deux vecteurs directeurs de ce plan et tu en as un point A. tu dois pouvoir vérifier si B est dedans ou pas
Vecteur n (d) : (2;-4;0)
Vecteur n (d') : (0;1;3)
On a A(1;1;1) et B (-1;2;3)
Donc d'après ax+by+cz+d=0
on a 2*-1+2*-4+3*0= -10
et 0*-1+1*-4+3*3=5
Donc B n'appartient pas à ce plan (d) et (d')
Mais je suis pas très sûre
je ne comprends pas bien ce que tu fais.
j'aurais plutôt cherché les coordonnées du vecteur AB pour voir s'il est coplanaire avec les vecteurs directeurs de d et d'
J'ai calculé les vecteurs directeurs pour chaque équation puis j'ai remplacé dans l'équation ax+by+cz+d=0 afin de voir s'ils sont inclus dans le plan si c'est égal à 0.
Alors si je calcule AB je trouve ( -2;1;2 ), le vecteur directeur de d est (2;-4;0) et le vecteur directeur de d' est (0;1;3)
Donc AB*d=-2*2 + 1*-4+2*0=-8
et AB*d'= -2*0+1*1+3*2 =7
=0 , alors on trouve que AB et le vecteur sont coplanaireS.de toutes façons, deux vecteurs sont TOUJOURS coplanaires (c'est un peu comme deux points, TOUJOURS alignés). C'est les trois ensemble, qu'il faut considérer
Euh oui désolé Orthogonaux pardons.
Donc en gros il faut démontrer que d et d' dont coplanaire avec AB,mais pour ça,il faudrait remplacer AB dans l'équation de d et d' c'est bien ça?
juste regarder si on peut trouver a et b tels que si on appelle u et v des vecteurs directeurs de d et d'
En faite j'ai nommé n(a,b,c) le vecteur normal recherché et par produit scalaire avec (2;-4;0) et (0;1;3):
a*2-4*b+0=0 et 0*a+1*b+3*c=0,
J'ai supposé que b=1 donc:
2*2-4*1+0=0
et 0*2+1*1+3*-1/3=0
tu cherches une équation du plan qui contient d et d', c'est çà ?
choisis plutôt c=1 ça évitera les fractions
tu as donc n(-6;-3;1) vecteur normal à ce plan
il passe par A : son équation est -6x-3y+z+d=0 avec -6-3+1+d=0 donc d =8
le plan a pour équation -6x-3y+z+8=0
avec B : 6 - 6 +3 + 8 non nul, B n'y est pas.
je pense avoir une idée
vecBM(x+1,y-2,z-3) comme le point M appartient à d on remplace x par 2t ; y par 3-4t et z par 1 donc vecBM(2t+1,-4t+1,-2) ;BM²=f(t) donc
f(t) =(2t+1)² +(-4t+1)²+(-2)²
=20t² +20t +6 et le minimum est atteint pour to=-1/2 (sauf erreur)
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